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本节将通过应用M-矩阵理论及构造合适的Lyapunov泛函，讨论具比例时滞细胞神经网络的全局渐近稳定性。
考虑如下时滞细胞神经网络模型 [29]
其中， x （ t ）=（ x 1 （ t ）， x 2 （ t ），…， x n （ t ）） T 表示神经元在 t 时刻的状态向量； D =diag（ d 1 ， d 2 ，…， d n ）， d i ＞0表示在与神经网络不连通，并且无外部附加电压差的情况下第 i 个神经元恢复独立静息状态的速率； A ={ a ij } n × n 和 B ={ b ij } n × n 分别表示反馈矩阵和时滞反馈矩阵； f （ x （·））表示激活函数向量， f （ x （·））=（ f 1（ x 1 （·））， f 2（ x 2 （·），…， fn （ x n （·））） T ，其中 fi （ x i （·））=0.5（| x i （·）+1|-| x i （·）-1|）； I =（ I 1 ， I 2 ，…， I n ） T 是偏置性常输入向量；常数 q 表示比例时滞因子，满足0＜ q ≤1， qt =1-（1 -q ） t ，其中（1 -q ） t 是时滞函数； φ （ s ）∈ C （[ q ，1]，ℝ n ）表示 x （ t ）在 t ∈[ q ，1]时的初始向量函数。
注2-1 就时滞项而言，式（2-1）不同于文献［4-24］中的模型，式（2-1）的时滞函数 τ （ t ）=（1 -q ） t ，当 t →+∞，（1 -q ） t →+∞，即时滞函数是无界的时变时滞函数。
注2-2 若 q =1，则系统（2-1）就写成如下形式：
其中，
，此时上述系统就是无时滞的标准的细胞神经网络模型。
设
x
*
为系统（2-1）的平衡点。令
z
（
t
）=
x
（
t
）
-x
*
，有
z
（
qt
）=
x
（
qt
）
-x
*
，或者
和
，则由式（2-1），有
或
其中，
z
（
t
）=（
z
1
（
t
），
z
2
（
t
），…，
z
n
（
t
））
T
，
g
（
z
（
t
））=（
g
1（
z
1
（
t
）），
g
2（
z
2
（
t
）），…，
gn
（
z
n
（
t
）））
T
，这里
，|
g
j
（
z
j
（
t
））|≤|
z
j
（
t
）|，所以
定义2-1 [4] 设矩阵 A 的所有对角元素都是正的。 A 的比较矩阵 C 定义为 c ii = a ii ，且 c ij =-| a ij |， i ≠ j 。
引理2-1 [4] 如果矩阵 A 是非奇M-矩阵，则存在一个正对角矩阵 P ，使得对任意的 x ∈ℝ n ，且 x ≠ 0 ，有 AP + A T P 正定或等价于 x T PAx ＞0。
引理2-2 [4] 如果矩阵 A 的比较矩阵是非奇M-矩阵，则存在一个正对角矩阵 P ，使得 A T P 是严格对角占优的，即
定理2-1
若
S
={
s
ij
}是非奇M-矩阵，且
，2，…，
n
，其中，
则系统（2-2）的原点是唯一的平衡点，并且是全局渐近稳定的。
证明 先证系统（2-2）的平衡点 z * 唯一性。式（2-2）的平衡点 z * 应满足
显然，若 g （ z * ）= 0 ，则 z * = 0 。现在假设存在另一个不为零的平衡点 z * ≠ 0 ，使 g （ z * ）≠ 0 。在式（2-4）两边左乘 g T （ z * ） P ，得
其中， P 为正定对角矩阵。由式（2-4），有
结合式（2-6），得
由此，得
由于0< q ≤1，有 q -1 ≥1，则
于是，由式（2-7）和式（2-8），有
现在，定义
由式（2-9），得
即
另一方面，根据引理2-1，对每一个 φ （ z * ）≠ 0 ，如果 S 是一个非奇M-矩阵，则存在一个正定对角矩阵 P ，使得
显然式（2-10）和式（2-11）矛盾。因此，可以得出 φ （ z * ）= 0 ，或等价于 g （ z * ）= 0 ，这蕴含着 z * = 0 。于是，证明了系统（2-2）的原点 z * = 0 是系统（2-5）的唯一解。因此对于每一个 I ，系统（2-1）有唯一的平衡点。
下面证明平衡点 z * = 0 的全局渐近稳定性。受文献［4］的启发，结合比例时滞细胞神经网络（2-1）的自身特征，构造如下正定的Lyapunov泛函
这里的 p i >0是常数。 V （ t ）沿系统（2-3）的改变率为
设 g （ z （ t ））≠ 0 ，其蕴含着 z （ t ）≠ 0 。则由| g i （ z i （ t ））|≤| z i （ t ）|，所以
由引理2-2知，如果 S 是一个非奇M-矩阵，则存在正定对角矩阵 P ，使得
因为 g （ z （ t ））≠ 0 ，最少存在一个 i 使得 gi （ z i （ t ））≠0，因此，有
所以
。
现在，考虑 g （ z （ t ））= 0 ， g （ z （ qt ））= 0 ，且 z （ t ）≠ 0 的情况。则有
因此证明了对于每一个
z
（
t
）≠
0
，都有
。
再假设 z （ t ）= 0 ，这蕴含着 g （ z （ t ））= 0 ，则
其中
。
由于
，
i=
1，2，…，
n
，可得对每个
g
（
z
（
qt
））≠
0
，都有
，并且当且仅当
g
（
z
（
qt
））=
0
时，
。因此，当且仅当
z
（
t
）=
g
（
z
（
t
））=
g
（
z
（
qt
））=
0
时，
，否则
是负值。同时，当
时，
V
（
t
）→∞，即
V
（
t
）是径向无界的。因此，由文献［35］中推论3.2，可得如果
S
是非奇M-矩阵，则系统（2-2）的原点
z
*
=
0
或系统（2-1）的平衡点
x
*
是全局渐近稳定的。
定理2-2
若
S
={
s
ij
}为非奇M-矩阵，且
，
i=
1，2，…，
n
，其中，
则系统（2-2）的原点是唯一的平衡点，并且是全局渐近稳定的。
证明 令 y i （ t ）= z i （e t ），则
其中， τ =-ln q ≥0。当e t ≥1时， t ≥0。反之亦然。故式（2-3）等价变换为如下具常时滞与变系数的细胞神经网络模型
其中， τ =-ln q ≥0。
系统（2-2）平衡点的唯一性的证明同定理2-1的平衡点唯一性的证明类似。下证系统（2-2）的平衡点的全局渐近稳定性。构造如下正定的Lyapunov泛函
这里 p i >0是常数。在式（2-13）中， V （ t ）沿系统（2-12）的改变率为
设 g （ y （ t ））≠ 0 ，意味着 y （ t ）≠ 0 。由| g （ yi （ t ））|≤| yi （ t ）|，有
余下部分同定理2-1的相应部分类似，这里省略。
注2-3 本节中，若 D = E （ E 为单位矩阵），则定理2-2的与文献［4］中的定理2.1.1是一致的。但是文献［4］中的定理2.1.1是针对常时滞的细胞神经网络给出的，而本节的结果是对无界时变的比例时滞给出的，因此本节所得结果可以看作对文献［4］中结果的改进。
注2-4 式（2-11）是具常时滞与时变系数的模型，与文献［5，6，13］中的时滞与变系数模型不同。文献［5，6，13］中模型的时变系数是有界函数，而式（2-11）的系数中含有e t ，是无界时变函数。
注2-5 定理2-1与定理2-2，两者既有区别又有联系。定理2-1依赖于比例时滞因子 q 的大小，定理2-2是时滞独立的。当 q →1时，有 q -1 →1，定理2-1就相应地变成了定理2-2。定理2-1应用于 q 的大小是确定的，并且 q 与1相比不是特别小的情况下。如果比例时滞因子 q 特别小，如 q =0.01，有 q -1 =100，此时应用定理2-1，计算量相对较大，并且定理2-1的适用范围会变小。另外，在实际网络的运行中，一般对延时是有要求的，延时要控制在系统所能允许的最大延时范围内。在比例时滞因子 q 已知的情况下，就可以根据系统所能允许的最大时滞来控制网络的运行时间。如果系统的比例时滞因子 q 的大小没有确定，或者比例时滞因子 q 相对较小时，就可以应用定理2-2进行系统稳定性的判断。
例2-1 在式（2-1）中，取
由于激活函数为分段线性函数 f i （ x i （ t ））=0.5（| x i （ t ）+1|-| x i （ t ）-1|）， i =1，2，于是其Lipschitz常数为 l i =1， i =1，2。按定理2-1的条件，经计算，得
矩阵 S 的特征值分别为 λ 1 =7.6056与 λ 2 =0.3944。由定义1-21，可知矩阵 S 是非奇M-矩阵。由定理2-1知，该网络存在唯一的平衡点（0，0） T ，且是全局渐近稳定的，如图2-1和图2-2所示。
图2-1 例2-1中系统的相轨迹
从相平面中的相轨迹可看到该网络有唯一的平衡点，从不同初始值初始的解轨迹都收敛到平衡点，如图2-1所示；时间响应曲线可看到从不同初值初始的解轨迹都收敛到（0，0） T ，如图2-2所示。数值仿真佐证了所得结论的正确性与有效性。
另一方面，容易验证
不满足文献［26］中注3.5的条件，因此文献［26］的相关结论不能判定该细胞神经网络是全局渐近稳定的。
继续验证
其中常数 σ >1。由 σ >1，可知式（2-14）的值一定是负数，即
不满足文献［27］中的推论2.1，因此文献［27］中的推论2.1也不能用来判定这个系统的全局渐近稳定性。从而说明本节所得结果的具有较低保守性。
图2-2 例2-1中系统的时间响应曲线
例2-2 在式（2-1）中，取
按定理2-2的条件，计算，得
矩阵 S 的特征值分别为 λ 1 =2与 λ 2 =6，由定义1-21，可知 S 是非奇M-矩阵。由定理2-2，可知该网络的平衡点存在唯一，且是全局渐近稳定的。应用Matlab计算得平衡点为（0.7041，0.4582） T ，其全局渐近稳定性，如图2-3和图2-4所示。
图2-3 例2-2中系统的相轨迹
图2-4 例2-2中系统的时间响应曲线
另一方面，容易验证
其中， p i >0， i =1，2。由式（2-15），欲使1 -p 1 / p 2 >0，必须满足 p 1 / p 2 <1成立，从而有 p 2 / p 1 >1，此时由式（2-16），有3-3 p 2 / p 1 <0，即
不满足文献［28］中的定理2.1与定理2.2，于是文献［28］中的判定标准对于例2-2是不适用的。