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工程实践表明，摩擦式提升机沿着罐道方向上的纵向振动是影响摩擦式提升机运行平稳性最主要的原因。研究摩擦式提升机的纵向振动时，可将提升钢丝绳处理为沿着罐道方向做纵向振动的变刚度弹簧。
本节主要介绍采用基于集中参数离散模型来模拟钢丝绳纵向振动力学行为的方法，为后文中研究摩擦式提升机的纵向振动问题提供理论基础。
如图2-1a所示，将沿着 x 方向运动、长度为 l 的钢丝绳视为由 n 个等长度的具有时变参数的质量-弹簧-阻尼器组成的一个运动系统。每个子段绳体的长度为 l/n ，绳体的线密度为 ρ 。假定绳体运动时，每个子段绳体内的速度变化是均匀的，对第 i 个子段绳体进行微分，获得如图2-1b所示的微分模型。
图2-1 钢丝绳的离散化
第 i 个子段绳体微分段d ξ 的位置为
微分段绳体的速度和加速度分别为
第 i 个子段绳体的动能、耗散能和弹性势能分别为
式中， c i 为第 i 个子段绳体的阻尼系数； k i 为第 i 个子段绳体的弹性系数， k i = EA/ （ l/n ）， E 为钢丝绳的弹性模量， A 为钢丝绳横截面面积。
将每个子段绳体的动能、耗散能和弹性势能进行叠加，可以获得钢丝绳系统的总动能、总耗散能和弹性势能分别为
将式（2-7）~式（2-9）代入第二类拉格朗日方程
式中， Q i 为系统广义坐标对应的广义力。
得到钢丝绳纵向振动力学方程组，写成矩阵的形式表示为
式中， M 为系统质量矩阵； C 为系统阻尼矩阵； K 为系统刚度矩阵； x 为系统广义位移矢量； Q 为广义激振力矢量。