2.3 基于绝对节点坐标法的钢丝绳动力学模型

对摩擦式提升机的摩擦传动特性研究时，可将钢丝绳视为由多个柔性梁单元组成的柔性多体系统，通过引入梁单元的绝对节点坐标方程，利用单元节点的绝对坐标变形描述钢丝绳的柔性变形，通过引入钢丝绳与摩擦轮的线-线接触，建立摩擦式提升机钢丝绳与摩擦轮之间的多点接触动力学方程，对摩擦式提升机的摩擦传动特性进行研究。

在一般有限元法分析中，梁单元和板壳单元采用节点微小转动作为节点坐标，因而不能精确描述柔性体的大变形运动。绝对节点坐标方程基于连续结构几何非线性理论，采用节点位移和节点斜率作为节点坐标，由于保留了单元的纵向应变和弹性力的高阶项，单元型函数不仅可以描述结构的弹性变形，还能够描述结构的大变形位移。所以，绝对节点坐标方程适宜分析发生大变形的钢丝绳（柔性体）的运动和动力学问题。

2.3.1 绝对节点坐标方程

连续介质力学理论是绝对节点坐标方程的理论基础，可以说绝对节点坐标法是柔性多体力学发展的一个重要进展，是近年来最具代表性的多体动力学研究成果，它同时也是对有限元技术的较大拓展和创新。最早的绝对节点坐标方程是Shabana在1996年基于平面一维梁单元提出的，梁单元如图2-3所示。

图2-3中， x 为一维梁单元沿着轴线的局部坐标系， x ∈(0, l ), l 为梁单元的初始长度； XOY 为总体坐标系。

梁单元中任意一点 P 在总体坐标系的位置矢量 r 可以表示为

式中， r ₁ 、 r ₂ 分别表示梁单元两节点在总体坐标系中的绝对位移； S 为梁单元的型函数； e 为梁单元节点的广义坐标矢量，定义为

其中

梁单元节点的绝对位移为

梁单元节点斜率为

采用梁单元等参单元的型函数时， S 可以写为

其中

其中

ξ = x/l

节点坐标列阵的表达式没有描述单元两个节点的转角位移，所以此方程没有考虑梁单元的剪切变形，即认为在变形过程中，两个节点的位置矢量与梁单元的轴线相切，且其方向与梁截面的法向垂直，也就是说满足欧拉-伯努利假设。

当梁单元发生刚性位移时，在未变形的参考坐标系中定义 r ₁ 、 r ₂ ，同时假定刚性运动的转角为 θ ，则在发生刚性位移后，梁单元任意一点 P 在总体坐标中的位置矢量可以表示为

需注意的是，这时在梁单元节点的广义坐标矢量列阵中

式（2-35）表明，利用绝对节点坐标方程能够精确地描述系统的刚性运动；由于采用的单元型函数的斜率以及位移的变化是连续的，所以将绝对节点坐标方程用于钢丝绳这类柔性结构的动力学分析是合适的。

单元运动过程中，单元中任意一点的速度矢量可以表示为

单元的动能可以表示为

式中， M _a 为梁单元质量矩阵； ρ 为线密度。

利用型函数不难得到梁单元的质量矩阵为

由式（2-38）可知，在绝对节点坐标方程中，梁单元的质量矩阵为常量对称矩阵。

根据格林应变张量，梁单元轴向应变可以表示为

梁单元轴向变形能可以表示为

变形后梁中轴线曲线的曲率 k 可以表示为

得到梁单元的弯曲应变能为

单元总的应变能可以表示为

根据应变能可以得到单元弹性力的矢量矩阵为

根据相关动力学虚功原理、牛顿-欧拉公式、拉格朗日方程和哈密顿原理得到单元的无约束动力学方程

式中， Q 为包括弹性力的广义外力矢量矩阵。

在梁单元的绝对节点坐标方程中，由于单元的质量矩阵为定常矩阵，所以单元的离心力以及科氏加速度为0。这样联立运动体所有单元的运动方程，利用标准的有限元方法就可以得到整个变形（柔性）体的运动学方程。

随后Shabana与Omar在一维梁单元绝对节点坐标方程的基础上又提出了考虑剪切变形的二维两节点梁单元（见图2-4）绝对节点坐标方程。本文第4章的研究，就是基于二维两节点梁单元绝对节点坐标方程展开的，故对其做重点说明。

如图2-4所示， XOY 为总体坐标系， xoy 为梁单元的局部参考坐标系，梁单元的节点 i 、 j 分别有定义在总体坐标系下的6个节点坐标，则整个梁单元共12个节点坐标。假设梁单元中任意一点 P 在总体坐标系下的位置函数为

式中， r ₁ ， r ₂ 为P关于总体坐标系XOY的绝对位移； S 为梁单元的型函数矩阵； x 、 y 为单元在局部参考坐标系中的位置； e 为单元节点坐标列阵。

由式（2-48）可知，方程共有12个待定的系数。

梁单元每个节点（ i ， j ）有6个自由度，节点 i 、 j 的节点坐标可以分别表示为

式中， r _i ， r _j 分别表示节点 i 、 j 在总体坐标系中的位置矢量； /∂ x 和 /∂ y 表示节点 i 的斜率； /∂ x 和 /∂ y 表示节点 j 的斜率。

整个梁单元的单元节点坐标方向矢量定义为

节点位移为

节点斜率为

梁单元坐标系中的方向矢量可以表示为

式中， A 、 B 分别表示单元的第一个和第二个节点。

在梁单元的局部坐标系中，节点 i 、 j 的位置矢量为

该单元的绝对节点坐标方程的等参单元型函数可以表示为

其中

S ₁ =1-3 ξ ² +2 ξ ³

S ₂ = ξ -2 η ² + ξ ³

S ₃ = η-ξη

S ₄ =3 ξ ² -2 ξ ³

S ₅ = -ξ ² + lξ ³

S ₆ = ξη

ξ = x/l

η = y/l

式中， l 为梁单元的长度。

单元的动能可以表示为

式中， M _a 为梁单元质量矩阵； ρ 为线密度。

单元的变形梯度为

式中， J ₀ =∂ X /∂ x =∂( S e ₀ )/∂ x , e ₀ 为单元的初始矢量。

应用右柯西-格林(right Cauchy-Green)变形张量，则格林-拉格朗日应力张量 ε ^m 可以写成

应力张量 ε ^m 是对称的，可以写成矢量矩阵的形式

则梁单元的势能为

根据应变能可以得到单元弹性力矢量为

同一维梁单元的绝对节点坐标方程类似，利用虚功原理可以得到系统的无约束运动方程。

在随后的研究中，Shabana等又提出了三维梁单元的绝对节点坐标方程模型。其他学者在绝对坐标体系下，还得到了很多其他含高阶斜率坐标的梁单元、板、壳单元、三维实体单元的绝对节点坐标方程。节点坐标的定义、型函数的推导，以及运动方程的建立过程与上述过程类似。

2.3.2 绝对节点坐标方程约束的添加

2.3.1节得到的方程（2-47）为系统在无约束条件下的运动方程，在利用绝对节点坐标方程建立多体系统运动方程的过程中，需要考虑各种约束，才能建立多体系统在真正意义上的运动方程。由于提升机传动分析使用的绝对节点坐标方程涉及的运动约束主要有旋转副约束、滑动副约束和固结约束等，所以下面讨论这几种约束的特性。

图2-5中的两个梁单元 i 、 m 分别由节点 j -1、 j 和节点 n -1、 n 构成，两个单元在节点 j 、 n 处用旋转副连接，旋转副约束处的约束方程为

式中，上角标的第1项表示单元号，第2项表示节点号。

由式(2-63)可知

式(2-63)只是约束了铰接处节点的位置坐标，其余描述转动的斜率矢量坐标没有约束。

式(2-63)写成关于节点坐标的形式为

式中， 为仅含有节点斜率的坐标矢量； T 为转换矩阵，定义为

图2-6为柔性梁单元 i 在节点 j 处与刚体 k 用旋转副连接，设旋转副旋转轴向在刚体坐标系下的局部坐标系为 =（ αβ ） ^T ，可以得到旋转副的约束方程为

式中， 为刚体上 P 点在局部坐标系中的位置矢量； A 为刚体转动矩阵。式(2-67)写成节点坐标矢量的形式为

图2-7为柔性梁单元与刚体、刚体与刚体的滑动副约束。

假定柔性体 i 的节点 j 沿着刚体 k 的一个曲线滑动，刚体曲线任意一点在刚体局部坐标系中的位置矢量可以表示为

式中， f ( α )为一个已知且关于参数 α 的函数。

如果梁单元上被约束点能够绕其自由转动，根据滑动副的定义可知节点 j 在曲线滑动的约束方程为

式中， α _P 为梁单元与曲线接触点 P 的参数。

对于梁单元上被约束点不能够绕其自由转动的情况，还需要添加下面的约束方程

式中， γ 为梁单元在接触点与曲线的夹角； 为梁截面的方向； 为曲线在点 P 处的切矢量，表示为

其中

对于图2-7b所示的情况，刚体 m 在刚体 k 的曲线上滑动，在两个刚体中分别引入局部坐标系 =（ αβ ） ^T 和 =（ δε ） ^T ，则两个刚体之间的约束方程写成

柔性梁单元 i 与刚体在节点 j 处的固结约束如图2-8所示。

图2-8所示情况的约束方程为

式中， u ^k 、 分别表示梁截面的矢量和刚体 k 的局部坐标系下的单位矢量。

2.3.3 基于绝对节点坐标法的钢丝绳多体动力学方程

如图2-9所示，将一段长度为 L 的钢丝绳简化为横截面为正方形的梁，图中，钢丝绳的横截面宽度为 a ，钢丝绳的线密度为 ρ ，钢丝绳材料的弹性模量为 E ，惯性矩为 I 。将钢丝绳划分为等长的 n 个梁单元，则钢丝绳的单元长度 l = L/n 。

钢丝绳上任意一点 P 的位置和剪切变形矢量分别表示为

式中， S 为单元型函数，见式(2-55)； e 为单元的绝对节点坐标，见式(2-50)； r _{y =0} 为点 P 在坐标( x ,0)处的初始位置矢量。

设单元的质量 m = pl ，由式（2-57）得到钢丝绳单元的质量矩阵为

其中

设 B _e 为单元节点坐标和总体节点坐标的转换矩阵，钢丝绳系统的总体质量矩阵表示为

设单位体积的重力为 F _g =(0 -ρg ) ^T ，得到钢丝绳单元的重力矩阵为

钢丝绳系统在没有受到其他外力的情况下，系统总的外力矩阵为

设钢丝绳单元节点坐标列阵为 q _e ，则钢丝绳系统总体节点坐标列阵 q 为

钢丝绳单元的梯度可以表示为

其中

式（2-85）中， S _i 的下标表示单元型函数的行数； e ₀ 表示单元的初始位置的绝对节点坐标矢量。

钢丝绳单元的格林-拉格朗日应变（Green Lagrange Strain）张量可以表示为

式中， I 为单位矩阵。

应变张量是个对称阵，写成矩阵的形式为

其中

钢丝绳单元的应变能可以表示为

式中， E 为关于材料的弹性常数矩阵，表示为

其中， λ = E 为材料的弹性模量， ν 为材料的泊松比。

钢丝绳单元的节点弹性力矩阵可表示为

式中， K _a 表示钢丝绳单元的刚度矩阵，可以表示为

其中

其中

钢丝绳系统的总体刚度矩阵可以表示为

得到钢丝绳系统无约束的动力学方程为

设钢丝绳在初始时刻处于水平位置，则对于第 i 个单元的初始条件为

e ₁ (0)=0, e ₁ (0)=( i -1) l , e ₃ (0)=0, e ₄ (0)=1, e ₅ (0)=0, e ₆ (0)=0

e ₇ (0)=0, e ₈ (0)= il , e ₉ (0)=0, e ₁₀ (0)=1, e ₁₁ (0)=0, e ₁₂ (0)=0

需要说明的是，本节的内容是采用绝对节点坐标方程推导钢丝绳运动方程的过程和方法，但是在大多数的情况下，直接利用上面的方法建立的钢丝绳的运动方程所描述的钢丝绳的动力学行为同真实状态下的钢丝绳（刚度等）还存在比较大的差异。所以有必要对其运动方程做进一步的修正，以满足设计计算的需要。 miiKyxkIHj1olmQy38wRpRA93sIBIiGXnvwg4yHPYL0iaGyI8p3HUd3UX9JeI9H6