1.5.1 模态综合法求解管束固有频率

由于管束的锥形螺旋结构，管束Ⅰ、Ⅱ通过连接体M相互影响，不能简单等效为两端简支曲梁结构或壳结构进行计算。依据动态子结构原理，将管束Ⅰ、Ⅱ及连接体M处理为子结构（见图1-18）。依据固定界面模态综合法原理，管束Ⅰ、Ⅱ及连接体M界面处的位移矢量为 q ₁ 、 q ₂ ，相应的界面力为 F ₁ 、 F ₂ 。对于管束的三维振动，每个位移矢量包含三个平动分量和三个转动分量，即 q _i =（ u _i v _i w _i θ _xi θ _yi θ _zi ） ^T ， i =1，2。

利用超单元法求解单根螺旋管束的质量矩阵 m 和刚度矩阵 k ，通过静力方程求解其主模态和约束模态，利用主模态和约束模态组成变换矩阵，完成一次坐标变化，将管束的物理坐标转换为模态坐标，得到管束在模态坐标下的振动方程

式中， P _i 为子结构的模态坐标； 为子结构模态坐标下的质量矩阵； 为子结构模态坐标下的刚度矩阵。

矩阵中的元素由子结构在固定界面条件下的模态信息确定。对于刚性连接体M，其振动方程为

联立式（1-1）～式（1-3），可得

式中， F 为子结构的界面力矢量； 为子结构质量矩阵组成的对角矩阵； 为子结构刚度矩阵组成的对角矩阵。

广义模态坐标矢量 P 和界面力矢量 F 表示为

由此可知模态坐标矢量 P 中存在不独立的广义坐标，根据界面位移连续条件，取独立的广义坐标矢量

进行第二次坐标变换

式中， Q 为变换矩阵。

由此得到锥螺旋管束在模态坐标下的无阻尼振动方程

式中， M 为管束总体质量矩阵； K 为管束总体刚度矩阵。

利用数值方法求解方程，然后经过两次返回坐标变换，得到锥螺旋管束的频率和振型。 C5nQS3HCorqBZd9W0tKHo0l38mRTHzTwBYWrowVwsgJI4jxQGm4q1EDFg7Nw9Xyn