3.4 等效节点载荷

通过外力势能研究外力对单元的作用效果，将单元内分布载荷转化为等价作用效应的等效节点载荷。

3.4.1 外力势能

1．体力势能

所谓体力是指分布在物体内部的力，如重力、离心力、惯性力等。对于平面问题，体力有两个分量 p =｛ X Y ｝ ^T ，单元体力势能是在单元区域内积分，即

2．面力势能

所谓面力是指作用在物体表面上的力，内部单元边界之间的相互作用属于内力，不属于面力范畴，只有边界单元才可能存在面力作用。面力有两个分量 ，单元的面力势能只能在有面力作用的边界上进行积分，即

积分域为有面力作用的边界，对于平面问题是曲线，三维问题则是曲面。

3．集中力势能

建立有限元模型时，通常将集中力作用点设置为节点，因此集中力的势能不用积分。设单元节点作用的集中力为 P _{0 e} ，则其单元的外力势能为

单元总的外力势能是单元上各种外力势能之和，为

说明一点，当集中力作用在单元的节点上时，集中力作用点的周围往往有多个单元，多个单元拥有共同节点，因为有限元分析最终考虑的是所有单元势能之和，不必考虑集中力在单元之间的分配问题，直接将该节点集中力叠加到总的载荷矢量中，因此在计算单元外力势能时，一般不包含集中力势能 V _{e 3} 。

3.4.2 体力的等效节点载荷

将位移模式 f = Nδ _e 代入式（3.26）中，并考虑单元节点位移矢量 δ _e 是不变量，单元的体力势能表达为

式中，

P _e 称为体力的等效节点载荷矢量。将三角形单元的形函数矩阵即式（3.7）代入，式（3.30）更形象具体，表示为

综上可见，在计算体力势能时，由于采用位移模式来表达单元内的位移场，使得原本在单元内部连续分布的体力，变为单元节点的集中载荷，外力的作用点发生了变化，称为载荷移置。依据静力等效原则，对于给定的位移模式，载荷移置的结果是唯一的，转化的节点载荷称为等效节点载荷或等效节点力。

通常单元划分得比较细小，体力变化不太大，可认为体力在单元内为常量，即单元内的体力分量 X 、 Y 为常量，等效节点载荷矢量 P _e 中的某个元素为

积分项 的计算，有两种计算方法：

其一，将形函数的表达式（3.4）代入，得

根据力学物理意义， 表示积分域的面积； 和 则表示面积矩。所以，式（b）

其二，利用面积坐标积分公式（3.10）直接计算。式（a）中，只有 N _i 这一项，即 α =1、 β = γ =0，则

两种方法计算结果相同。所以，式（a）为

对于 y 方向和其他节点的等效载荷与此处理方式类似。当体力为常量时，单元等效节点载荷统一写成矩阵形式

式中， At 是单元体积； AtX 、 AtY 实际是单元体力在 x 和 y 方向上的合力。当体力为常量时，先计算出单元体力的合力，然后再平均分配到对应的3个节点上，即可得到体力的等效节点载荷。

3.4.3 面力的等效节点载荷

根据面力势能的表达式（3.27）及位移模式的表达式（3.8），单元的面力势能表达为

需要说明的是，内部单元之间相互作用的表面力互为作用与反作用力，在整体分析时内部节点面力互相抵消，不必考虑内部单元之间的表面力。只有边界单元中处于边界位置且有面力作用的边，才需要计算该边上的面力等效节点载荷。

单元内节点的面力等效节点载荷为“0”，如果在 ij 边上存在面力，此时 N _m =0，则面力等效节点载荷矢量为

物体表面力作用方向及大小分布有不同的形式，如面力作用方向有法线方向、切向方向或倾斜方向，面力大小则有线性或高次分布方式。下面以线性分布面载荷为例，讨论图3.5所示的常见三种形式面力等效节点载荷的计算。

1．以坐标分量表示的线性分布面力

如图3.5a所示，在 ij 边上线性分布面力，两个节点的面力分量分别为 和 。根据 i 、 j 节点的值确定， ij 边上任意 Q 点处面力的大小，符号按其与坐标轴的方向确定，面力分量为

将上式代入式（3.32），利用面积坐标积分公式（3.11），得到以坐标分量表示的、线性分布面力作用下，单元的等效节点载荷为

式中， l _ij 表示单元 ij 边的长度。

2．线性分布的法向面力

表面力垂直于物体表面且按线性分布的压力是最常见的表面力形式，如水坝迎水面的水压力就是与水深成正比且垂直于迎水面。若某单元 ij 边上有线性分布的法向面力，单元在 ij 边左侧，节点 i 的值为 q _i ，节点 j 的值为 q _j ，规定指向物体（压力）为正，背离物体（拉力）为负，如图3.5b所示。

法向面力 q ，在两个坐标轴上投影的面力分量为

其中，

将法向面力 q 在坐标轴上的面力分量代入式（3.33），则线性分布的法向面力在 ij 边上任意一点的面力分量为

按计算式（3.34）时用到的类似的积分方法，线性分布的法向面力作用在 i 、 j 节点的等效节点载荷分别为

3．边界面内的切向面力

摩擦力属于边界面内的表面力，其方向与边界切线方向平行。切向面力符号规定：沿着切向面力箭头指向，单元在前进方向的左侧为正，反之为负，如图3.5c所示。

若某单元边界上存在线性分布的切向面力 p ，切向面力在 ij 边上任意一点的面力分量为

按上述步骤，线性分布的切向面力的等效节点载荷为

切向面力为常量时，式（3.38）简化为均布切向面力作用下的等效节点载荷为

【例3.1】 如图3.6所示，单元在 jm 边上有 x 方向的面力作用，设该边长度为 l ，单位厚度，求该单元的等效节点载荷。

解法一 ：设以 m 点为原点，沿 jm 边上任意位置 s （0≤ s ≤ l ）处的面力分量为

形函数的值为

根据面力的等效节点载荷，即式（3.32），只有

其余各个分量均为零。单元的面力等效节点载荷为

实际上， ql/ 2为面力在边界上的合力。当面力不是均布力时，面力的等效节点载荷不再是平均分布，但也可先计算出面力的合力，然后根据合力作用点的位置按比例分配到相应节点上。

解法二 ：根据形函数的性质，在 jm 边上任意位置 s 处的面力分量，可以表示为

根据面积坐标积分公式（3.11），得到

其余各个分量均为0。面力的等效节点载荷为 TKCRWukz/t2xfQvMeu8u6PTcAgbXygir3hzhISD50kJBpPrW3EkqVjnGow3QJW/3