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单元分析目的就是要建立单元内一点的应变分量、应力分量，以及单元的应变能与单元节点位移矢量之间关系，下面给出应变矩阵、单元刚度矩阵的概念及其表达式。
将式（3.5）代入平面问题的几何方程［式（2.8）］，在求导计算时，应注意位移表达式中 u i ， v i ，…， u m ， v m 为节点的值，对单元来说是定量，不是坐标的函数，得到应变分量表达式
写成矩阵形式，为
令
上式称为应变矩阵或称几何矩阵，它反映了单元中任意一点的应变分量与单元节点矢量之间的关系。应变矩阵为3×6阶矩阵，平面问题有3个应变分量，列数与单元所包含的节点数有关。
式（3.14）是根据三角形单元推导出来的，但该式具有代表性，对其他类型的单元仍适用。单元上任意一点的应变采用矩阵表达，写成通式
对于平面三角形单元，形函数为式（3.5）的形式，其应变矩阵为
平面三角形单元上任意一点的应变为
应变矩阵 B 中的每个元素均为常数，是常量矩阵，而每个单元的节点位移矢量也是不变的，据此计算出来的单元应变也必然是常量，因此位移模式（3.1）的单元被称为常应变三角形单元。
弹性力学中应力与应变的关系为
式中， D 是反映应力与应变关系的弹性矩阵。
平面应力问题的弹性矩阵：
平面应变问题的弹性矩阵：
将应变表达式（3.16），代入式（3.19），得
σ = Dε = DBδ e = Sδ e
式中，
S 称为应力矩阵，它反映了单元中任意一点的应力分量与单元节点位移矢量之间的关系。常应变三角形单元也是常应力三角形单元。应力矩阵是由弹性矩阵与应变矩阵相乘得到，由程序很方便完成计算，相对来说，应变矩阵与弹性矩阵更具代表性。
将应变表达式（3.16）、应力表达式（3.19）代入应变能表达式（2.22），并考虑节点位移矢量在单元范围内为常量，得
令
上式称为单元刚度矩阵，它是有限元中最重要的矩阵，反映了单元应变能与单元节点位移矢量之间的关系。
单元的应变能可写为
平面问题常应变三角形单元的单元刚度矩阵
式中， A 为三角形单元的面积； t 为平面问题弹性体的厚度。
一般地，每个单元的刚度矩阵是不同的，需要根据式（3.25），循环计算有限元模型中的每个单元刚度矩阵。为便于计算，将计算单刚的过程，再简单总结如下：
1）根据平面应力或平面应变问题属性及材料性能，按式（3.20）或式（3.21）组装弹性矩阵 D ；
2）对一个单元循环，根据单元信息数据，提取单元的节点编号 i 、 j 、 m ；
3）提取单元对应的 i 、 j 、 m 节点坐标；
4）由式（3.2）计算单元面积 A ；
5）由式（3.3）计算系数 a i 、 a j 、 a m 、 b i 、 b j 、 b m 、 c i 、 c j 、 c m ；
6）由式（3.17）组装应变矩阵 B ；
7）由式（3.22）计算应力矩阵 S = DB ；
8）由式（3.25）计算单元刚度矩阵 K e = AtS T B ；
9）将单元刚度矩阵组装到总刚度矩阵中（这一步将在后面介绍）；
10）返回第2）步，进行下一个的单元计算。
如果下列矩阵 K e 是某单元的刚度矩阵，该矩阵具有哪些特点？
（1）对称性 单元刚度矩阵是对称方阵，其元素都关于主对角线对称，即 k rs = k sr （ r ， s = i ， j ， m ），该性质可根据功的互等定理予以证明。
（2）奇异性 单元刚度矩阵中任意一行或列元素之和为零。其物理意义是在没有给单元施加任何约束时，单元可有刚体运动，位移不能唯一确定。
（3）主对角线元素恒为正值 单元刚度矩阵中的每个元素为一个刚度系数，表示单元抵抗变形的能力，元素数值的意义为节点发生单位位移分量时，所施加的节点力分量。主对角线元素是正值说明节点位移方向与施加节点载荷的方向是一致的。
（4）单元刚度矩阵与单元位置无关 单元刚度矩阵与单元位置无关，也就是单元在平移时， K e 不变；当单元节点排列顺序不同时， K e 中的元素大小不变，但排列顺序相应改变；单元转动180°时， B 、 S 不同，但 K e 不变。如参考图3.21b中，当单元②与单元①的节点排列顺序相同时，这两个单元的应变矩阵、应力矩阵、单元刚度矩阵完全相同。若单元③与单元②相对顺序相同，二者虽然 B 、 S 不同，但 K e 仍相同。