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有限元的基本思想是，在弹性体内选取足够多、有限数目、具有代表性的节点，用节点位移量描述其他非节点的位移。描述弹性体中某个非节点位移，并非考虑所有节点位移对该点的影响，而只考虑离该点最近且将该点包围、组成封闭简单形状的少数几个节点。由选定节点组成的封闭简单形状小区域称为单元，如三角形单元、四边形单元等。有限元分析时，单元的位移场实质上是由单元节点的位移描述单元内部一点位移的插值函数。
在离散数字化的有限元模型中，任取一个编号为 e 的三角形单元，为了具有一般性，设其3个节点的编号按逆时针顺序依次为 i 、 j 、 m ，如图3.2所示。平面问题中，每个节点有两个位移分量，分别为
将单元3个节点的位移分量按照一定的顺序排列起来，记为
δ e =｛ δ ｝ e =｛ u i v i u j v j u m u m ｝ T
图3.2 平面三角形单元
δ e 称为单元 e 的节点位移矢量或称为节点位移列阵。 δ e 是有限元分析过程中一个最重要的量，接下来将用 δ e 表示单元的应变、应力、应变能等。
现在研究单元内任意一点 P （ x ， y ）的位移分量 u 和 v 。位移分量是坐标的函数，用关于 x 和 y 的多项式来描述单元内各点位移变化规律的函数，称为位移模式或位移插值函数。假定三角形单元的位移模式为
其中， α 1 ，…， α 6 为待定系数，由节点坐标与节点位移分量确定。
式（3.1）适用于点 P （ x ， y ）在三角形单元内任意一点，当点 P 分别与3个节点重合时，由第一个式子得到
式（a）是关于 α 1 、 α 2 、 α 3 的线性代数方程。根据节点编号唯一性，节点坐标及节点的位移分量被认定为已知，按线性代数中的克莱姆法则，求得 α 1 、 α 2 、 α 3 为
其中，
根据解析几何，式（3.2）中的2 A 等于图3.2所示平面三角形单元 ijm 面积的两倍。
将式（b）中的3个行列式，分别按节点位移 u i 、 u j 、 u m 所在列展开， α 1 、 α 2 、 α 3 还可以表示为
将式（c）代入式（3.1）的第一个方程中，整理得到
同样得到
上述式中，各系数分别为
为了便于记忆和应用上式中的9个关系式，将9个系数按着下列排列组成行列式 XS ，且与式（3.2）并列排列，为
对应比较，不难证明，式（3.3）中的各个系数，即行列式 XS 中的各个元素，就等于式（3.2）中对应位置元素的代数余子式，也就是说 b i 是行列式2 A 中元素 x i 的代数余子式。计算时，注意行列式中不同位置元素代数余子式的符号。
观察式（d）和式（e），各节点位移分量前的系数具有相似的形式。若令
其中， N i 、 N j 、 N m 称为形状函数或形函数，则式（d）和式（e）即可写成
写成矩阵表达形式
若记
矩阵 N 被称为形状函数矩阵或形函数矩阵。其意义是反映了单元内任意一点位移分量与节点位移矢量之间的关系。形函数矩阵为2×6阶矩阵，平面问题都只有两个位移分量，所以所有平面问题的形函数矩阵均为两行，列数为单元包含节点个数的2倍。
式（3.6）可以简写成矩阵形式
式（3.5）、式（3.6）及式（3.8）分别采用代数格式、矩阵格式表达的以单元节点位移矢量为自变量的单元内任意一点的位移分量，称为位移模式或位移插值函数，而式（3.8）则是有限元分析中所有单元位移模式的通式。
三角形内任意一点 P （ x ， y ）与各顶点相连，将三角形分成3个小的三角形，如图3.3所示。如果3个小三角形的面积分别记为 A i 、 A j 、 A m ，若令
那么 L i 、 L j 、 L m 就可以作为一种确定 P 点位置的坐标， L i 、 L j 、 L m 称为 P 点的面积坐标。
面积坐标是根据面积来定义的，是一种固定于单元的局部坐标。面积坐标具有以下性质。
① P 为三角形内任意一点：
L i ＋ L j ＋ L m =1
② P 在节点上（如节点 i ）：
L i =1， L j = L m =0
③ P 在边线上（如在 jm 边上，如图3.4所示）：
L i =0， L j ＋ L m =1
④ P 在 jm 边上（距 j 节点的距离为 s ， jm 的边长为 l ）：
L j =1- s/l ， L m = s/l
⑤ P 在单元的形心处：
L i （ x C ， y C ）= L j （ x C ， y C ）= L m （ x C ， y C ）=1 / 3
⑥直角坐标与面积坐标的关系：
图3.3 面积坐标图
图3.4 边界上的点
利用分部积分，可以证明面积坐标中非常有用的积分公式：
式中， α ， β ， γ 为整常数； A 为三角形单元的面积； L 为 ij 边的长度。
将面积坐标表达式展开
上式与式（3.4）比较可见，虽然形函数与面积坐标是从不同方面定义的，但其数学表达式完全相同，形函数与面积坐标的关系为
因此，可借鉴面积坐标的性质来表述形函数的性质。形函数与节点坐标之间的关系为
