有限元法与MATLAB程序设计最新章节_郭吉坦著

2.4 能量原理

在弹性力学中，即使是平面问题这类特殊问题，当边界条件比较复杂时，要求得精确解答也是十分困难，甚至是不可能的。对于大量实际问题，近似解法具有极为重要的意义。变分方法是最有成效的近似解法之一，而且是有限单元法的理论基础。变分法，主要是研究泛函及其极值的求解方法。所谓泛函，就是以函数为自变量的一类函数，简单地讲，泛函就是函数的函数。弹性力学变分法中所研究的泛函，就是弹性体的能量，如形变势能、外力势能等。弹性力学中的变分法又称为能量法，该方法就其本质而言，通过求泛函的极值（或驻值），最后把微分边值问题划归为求解线性代数方程组。

2.4.1 弹性体的应变能

弹性体受到外力作用，假设外力从零开始缓慢地增加到指定值，弹性体始终保持平衡状态，即保证在上述加载过程中既不会产生动能也不考虑热能的变化，那么外力对弹性体各点从原有位置经过一定位移达到平衡位置时所做的功，全部转变为弹性体以变形的形式储存在体内的弹性变形能，该能量称为弹性体的应变能或称形变势能。弹性体的应变能可以用应力在其相应的应变上所做的功来计算。

设弹性体只在某一个方向，例如 x 方向，受有均匀的正应力 σ _x ，相应的线应变为 ε _x ，则其每单位体积内具有的应变能，即应变能密度为

应变能密度是以应变分量为自变量的泛函，它在图2.9中表示应力-应变曲线右下方的一部分面积。而图2.9中的应力-应变曲线左上方的一部分面积，表示单位体积内的应变余能，又称为应变余能密度，表示为

应变余能是以应力分量为自变量的泛函。

图2.9 应变能与应变余能

当弹性体的应力-应变关系为线性时（见图2.9a），应变能密度与应变余能密度的数值相等，但应当注意它们的自变量是不同的。如果应力-应变关系为非线性时，二者不再相等，如图2.9b所示。

根据能量守恒定理，应变能的大小与弹性体受力次序无关，完全取决于应力及应变的最终大小。如果应力与应变之间呈线性关系，当弹性体受到全部6个应力分量时，则弹性体的应变能密度为

由应力、应变矢量表达的形式

弹性体的总应变能为

在式（2.20）中，引入广义胡克定律［即式（2.2）］，得到用应力分量表示的弹性体的应变能密度为

若用应变分量替换应力分量，则得到用应变分量表示的弹性体的应变能密度为

其中， θ = ε _x ＋ ε _y ＋ ε _z 。

由于0＜ μ ＜0.5，故由式（2.24）可见，不论应变如何，弹性体的应变能 u _ε 总是不会出现负值。只有在所有的应变分量都等于零的情况下，应变势能 u _ε 才等于零，否则对于任何应变，应变能都是正的。

将式（2.24）分别对6个应变分量求导，可得

该式表示，弹性体的应变能密度关于任意一个应变分量的改变率等于相应的应力分量。

2.4.2 位移变分原理与最小势能原理

设有一个弹性体，在其体内受到体力（ X ， Y ， Z ）的作用，在其表面应力边界 S _σ 上受到面力的作用，而另一部分位移边界 S _u 上则受到已知位移（）的约束，如图2.10所示。

图2.10 弹性体示意图

当该弹性体处于平衡状态时（指真正的平衡），在弹性体中产生的真实位移分量为 u 、 v 、 w 。现假想这些位移分量产生了边界 S _u 上位移约束条件所允许的虚位移δ u 、δ v 、δ w ，则位移分量变为

式中，δ为变分符号。在位移边界 S _u 上，有

δ u =δ v =δ w =0

根据式（2.3），得到与虚位移对应的虚应变，为

应变能密度 u _ε 作为应变分量的函数，当位移分量从真正的 u 、 v 、 w 变化到约束允许的式（2.26）中的 u′ 、 v′ 、 w′ 时， u _ε 的变分为

引入式（2.25）中的关系，得

δ u _ε = σ _x δ ε _x ＋ σ _y δ ε _y ＋ σ _z δ ε _z ＋ τ _xy δ γ _xy ＋ τ _yz δ γ _yz ＋ τ _zx δ γ _zx

则整个弹性体的应变能的变分为

体力在虚位移上所做的虚功为

面力在虚位移上所做的虚功为

注意到应变能表示在弹性体变形过程中为克服体内各质点之间相互作用而做的功，内力在弹性体变形过程中做负功，在虚位移过程中没有热能和动能的变化，所以外力对弹性体所做的功与弹性体的应变能的代数和为零，也就是说总的虚功为零，即

具体可以写成下式

或

式（2.29）或式（2.30）称为 位移变分方程 ，又称 虚位移方程 。表明当位移分量从真正的 u 、 v 、 w 变化到约束所允许的 u′ 、 v′ 、 w′ 时，体力和面力在虚位移上做的虚功等于弹性体应变能的改变。

考虑到虚位移是很小的，在产生虚位移的过程中，体力和面力的大小及方向均认为保持不变，只是作用点发生了改变。基于此，就可将式（2.29）中积分号内的变分号提到积分号的外面，并写成

令

或记为

其中，

Π 称为 总势能 ， U 为弹性体总的 应变能 ，将外力在真正位移上做的功冠以负号称为外力势能， V ₁ 为 体力势能 ， V ₂ 为 面力势能 。表明弹性体的总势能为弹性体的应变能与外力势能之和。经过变换，位移变分方程（2.31）的另一种表示形式为

式（2.35）说明，当位移分量从真正的 u 、 v 、 w 变化到约束所允许的 u′ 、 v′ 、 w′ 时，总势能的变分为零，真正的位移使总势能取驻值。可以证明，驻值为最小值，这就是最小势能原理。

最小势能原理可以简要叙述为： 在满足位移边界条件（即约束所允许）的一切位移中，真正的位移使总势能取最小值 。

综上所述，以位移作为基本未知函数求解弹性力学问题时，一般的方法是求解用位移表示的平衡微分方程，并使所求的位移分量在位移边界 S _u 上满足位移边界条件，在力边界 S _σ 上满足以位移表示的静力边界条件。

而现在可归结为求解位移变分方程的式（2.29）或求总势能 Π 的极值的式（2.35）。在应用方程时，所假设的位移分量只要求满足位移边界条件，而不必事先满足静力边界条件。式（2.28）或式（2.33）相当于以位移表示的平衡微分方程和静力边界条件，对于一些按实际情况简化了的弹性力学问题，可以通过上述方程导出其相应的微分方程和边界条件。

利用最小势能原理求得位移近似解的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算模型显得偏于刚硬。利用最小余能原理得到的应力近似解的弹性余能是精确解余能的上界，即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模型偏于柔软。如果同时利用这两个极值原理求解同一问题，则将获得该问题的上界和下界，能较准确地估计出所得近似解的误差，对工程计算具有实际意义。

2.4.3 瑞利-里茨法

引入最小势能原理的主要作用并不是为了推导出问题所需满足的微分方程和边界条件，而是在于用来求解问题的近似解答。根据最小势能原理，首先必须列出满足位移边界条件的位移，然后求出其中使总势能取最小值的那组位移，这就是所要求的真正的位移。但要列出所有满足位移边界条件的位移是艰难的，甚至不可能。实际应用时，只能根据受力特点和边界条件，凭经验在缩小范围内寻找一簇位移，从中求得一组使总势能取得最小值的位移。一般来说，这组位移不是真正的位移，但可以肯定的是，在缩小范围后的一簇位移中存在与真正位移最接近的一组，从而可以作为问题的近似解。所以选定的范围至关重要，它会影响近似解的精度。瑞利-里茨法是基于最小势能原理应用最普遍、效果最好的近似解法之一。

最一般情况下，将位移分量选择为如下的形式：

其中， u ₀ 、 v ₀ 、 w ₀ 和 u _m 、 v _m 、 w _m 都是坐标的已知函数； A _m 、 B _m 、 C _m 为待定的任意常数。

u ₀ 、 v ₀ 、 w ₀ 和 u _m 、 v _m 、 w _m 要求在位移边界 S _u 上满足

这样就保证式（2.36）所给出的一簇位移，不论 A _m 、 B _m 、 C _m 取任何值，在 S _u 上总是满足位移边界条件的。

现在的问题是如何适当地选择 A _m 、 B _m 、 C _m ，使总势能在以式（2.36）所表示的这簇位移中取最小值。为此，先将式（2.36）代入几何方程（2.3）求应变分量，再代入总势能的表达式（2.32）中，经过整理，总势能 Π 表示为待定系数 A _m 、 B _m 、 C _m 的二次函数。这样就将原本是求自变函数为 u 、 v 、 w 的泛函极值问题，转变成求自变量为 A _m 、 B _m 、 C _m 的函数的极值问题，总势能 Π 取极值的条件为