有限元法与MATLAB程序设计最新章节_郭吉坦著

2.3 弹性力学平面问题

实际问题中，任何弹性体都是空间物体，所受的外力一般都是空间力系，因此严格地说，任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题，但当弹性体的几何形状和受力情况（包括约束条件）具有一定特殊性时，经过适当的简化和力学的抽象处理，就可以把空间问题简化成近似的平面问题。弹性力学平面问题，在数学上属于二维问题，将空间问题的15个基本未知量降为8个，基本方程也由15个减少为8个，这样处理，大大降低了分析计算的工作量，所得结果的精度能够满足工程要求。工程应用中，某些特殊结构可以根据几何形状及受力特点将三维问题简化为二维问题，极大提高了分析效率。根据弹性体的几何形状与受力特点，弹性力学平面问题可分成平面应力问题和平面应变问题这两种类型。

2.3.1 平面应力问题

设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且沿厚度不变化的面力，同时体力也平行于板面并且沿厚度不变化，如图2.6所示，这类问题称为平面应力问题。

从平面应力问题的概念可以看出，平面应力问题对物体的几何形状及受力有如下要求：

1．几何形状方面

①弹性体在一个方向（ z 轴）上的尺寸比另外两个方向上的尺寸小很多；②存在一个中心层，该中心层是平直的；③物体在短方向（ z 轴）上的两个面与中心层平行，保证该方向上的尺寸不变化。

2．受力要求

①所有外力均平行于中心层，垂直于中心层的所有外力分量均为0；②所有外力沿短方向（ z 轴）在物体上均匀分布。

平面应力问题在几何形状方面的要求实质上是等厚度平板特征，实际工程结构中，满足此几何要求的物体很多，如墙体、楼板等；但受力方面要求较为苛刻，只有竖向放置的受拉或受压平板才满足平面受力要求。在实际分析过程中，如果横向作用很小可以忽略时，则认为满足受力要求，如不考虑风载、不考虑偏载影响时的墙体等可简化为平面应力问题。而楼板主要承受横向载荷作用，不属于平面应力问题。

图2.6 平面应力问题

下面讨论平面应力问题的应力状态。选取类似图2.4所示的平行六面体，但在 z 方向上取板的厚度 t ，因为在板面上（ z =± t/ 2）不受力，所以存在

因为板很薄，外力又沿厚度均布不变化，可以认为在整个薄板的所有各点都有上述特征，即

σ _z =0， τ _zx =0， τ _zy =0

注意到剪应力的互等关系， τ _xz =0， τ _yz =0，于是只剩下 xOy 平面内的三个应力分量 σ _x 、 σ _y 、 τ _xy ，应力分量表示为 σ =｛ σ ｝=｛ σ _x σ _y τ _xy ｝ ^T ，这就是被称为平面应力问题的原因。

平面应力问题仍然满足空间问题的物理方程，根据式（2.2）， γ _xz =0， γ _yz =0；但

ε _z 描述了薄板受外力作用而产生的畸变，由于板很薄，这种畸变很小，不能将其作为独立的应变分量，加之与 z 无关，所以只关注与应力分量相对应的三个应变分量 ε _x 、 ε _y 、 γ _xy ，表示为 ε =｛ ε _x ε _y γ _xy ｝ ^T 。

2.3.2 平面应变问题

平面应变问题与平面应力问题相反，物体的几何形状及受力有如下要求：

1．几何形状方面

①物体在一个方向（ z 轴）上的尺寸远大于另外两个方向上的尺寸；②物体截面中心轴线是平直的；③垂直于中心轴线（ z 轴）的所有截面不变。

2．受力特点

①所有外力均垂直于中心轴线，平行于中心轴线的所有外力分量均为0；②所有外力以及边界约束状态沿中心轴线长度方向（ z 轴）不变化。

这类物体的几何形状属于等截面直柱形体，假想该柱形体为无限长。对于外力沿中心轴线方向（ z 轴）均匀分布的无限长柱体，沿 z 轴的位移分量 w ≡0；任意取两个不同横截面，不仅几何形状是相同的，且变形情况也相同；位移分量与 z 轴无关，只与 x 和 y 有关，位移量可简化表示为

u = u （ x ， y ）， v = v （ x ， y ）， w =0

挡土墙、重力坝、隧道和输油管线等问题（见图2.7）很接近于平面应变问题。虽然这些结构不是无限长的，但实践证明，对于离开两端较远之处，按平面应变问题进行分析计算，得出的结果却是工程上可用的。但在靠近两端之处，横截面的形状及受力状态往往是变化的，并不符合平面应变问题的条件。

图2.7 平面应变问题

平面应变问题的应变分量满足几何方程，根据式（2.3），存在

可见，应变分量中下标与 z 有关的应变分量均为0，只剩下 xOy 平面内的三个应变分量 ε _x 、 ε _y 、 γ _xy ，应变分量表示为 ε =｛ ε _x ε _y γ _xy ｝ ^T 。虽然该问题几何形状是空间三维的，但应变分量却是二维的，该类问题属于二维应变问题，故该类问题被称为平面应变问题。

根据式（2.2），有 τ _yz =0， τ _zx =0，但

σ _z = μ （ σ _x ＋ σ _y ）≠0

σ _z 的存在说明了垂直于 z 轴的截面之间存在相互挤压力。 σ _z 为应力分量 σ _x 和 σ _y 的一种组合，不能作为一个独立的基本未知量，研究所关注的是横截面内的三个应力分量 σ _x 、 σ _y 、 τ _xy 。

综上，无论是平面应力问题还是平面应变问题，均与 z 轴无关，应力、应变各三个分量，位移也只有 x 和 y 方向上的分量，平面问题只有8个基本未知量。将应力、应变、位移分量及外力分量统一用矢量表示如下：

应力分量 σ =｛ σ _x σ _y τ _xy ｝ ^T ，应变分量 ε =｛ ε _x ε _y γ _xy ｝ ^T ，位移分量 f =｛ u v ｝ ^T

体力分量 F =｛ X Y ｝ ^T ，面力分量 F _s =｛ X _N Y _N ｝ ^T ，集中力分量 F ₀ =｛ X ₀ Y ₀ ｝ ^T

2.3.3 平面问题的平衡方程与几何方程

平面问题遵循弹性力学基本方程，根据空间问题平衡方程［式（2.1）］和几何方程［式（2.3）］，去掉与 z 轴相关项，得到平面应力问题与平面应变问题的平衡方程和几何方程。两类平面问题的平衡方程和几何方程都相同。

1．平衡方程

2．几何方程

2.3.4 平面问题的物理方程

平面问题是空间问题的特例，遵循空间问题的物理方程。根据平面应力问题与平面应变问题的应力分量、应变分量的特点，由式（2.2）得到相应的物理方程，二者是不同的。物理方程有两种表达形式，即由应力分量表示应变分量或由应变分量表示应力分量。前者由空间问题的物理方程直接得到，在有限元法中采用后种表示法，常用矩阵形式表达。