平衡方程是表示应力与外力(体力)之间关系的方程。
物理方程表示应变与应力之间的关系,即广义胡克定律。用应力表示应变的物理方程
式中, E 、 G 、 μ 分别为材料的弹性模量、剪切模量和泊松比。三者关系为
三个方向的正应变与正应力之间存在耦合关系,其影响量为泊松比。剪应变与剪应力之间不存在耦合。物理方程也有用应变表示应力的形式。
几何方程又称柯西方程,表示应变与位移之间的关系。如图2.5所示, ε x 和 γ xy 的定义如下:
图2.5 一点位移与形变图
正应变 ε x
剪应变 γ xy
而
同理, ,所以
小变形情况下,几何方程为
可见,剪应变是两个方向变形的协调性问题,如 γ xy 就是 x 与 y 方向变形的相互影响。
变形协调方程也称相容方程,反映应变分量之间的内在关系。应变协调方程是由几何方程消去位移分量而得的,表示6个应变分量之间必须满足的约束条件,虽然不作为基本方程,但在应力解法中具有十分重要的作用。
边界条件表示在边界上位移与约束或应力与面力之间的关系。按照边界条件的不同,分为位移边界条件、应力边界条件、混合边界条件。
弹性体在所有边界上的位移分量均为已知,在边界上存在
其中, u s 、 v s 、 ws 表示边界上的位移分量,而 则表示在边界上是坐标的已知函数,例如对于完全固定的边界, ,这就是位移边界条件。
弹性体在全部边界上所受的面力都是已知的。面力已知的条件可以变换成应力方面的条件,表示为
式中, l =cos( N , x ), m =cos( N , y ), n =cos( N , z )表示边界外法线 N 的方向余弦。
式(2.6)同样是一个函数方程,表示边界上每一点应力与面力之间的关系,即应力分量的边界值就等于对应的面力分量。但应注意,应力分量与面力分别作用于不同面上,且各有不同的正负号规定。当边界的外法线 N 沿坐标轴正向时,应力与面力符号相同;当边界的外法线 N 沿坐标轴负向时,二者符号相反。
弹性体在一部分位移边界 S u 上的位移分量为已知,满足位移边界条件式(2.5);而在另一部分应力边界 S σ 上的应力分量为已知,满足应力边界条件式(2.6)。混合边界条件是实际工程问题中常见的边界形式。
弹性力学的基本方程共计15个,即平衡方程3个、几何方程6个、物理方程6个;基本未知量为应力分量6个、应变分量6个、位移分量3个,共计也是15个。基本未知量的数目恰好等于基本方程的数目,在适当的边界条件下,才有可能从基本方程求解这些未知量。
说明一点,应用有限元法分析工程问题时,位移边界条件、混合边界条件均可获得很好的结果;而对完全应力边界条件将无法求解,因为应力边界条件只满足力平衡关系,而对刚体位移没有限制。