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弹性力学是固体力学的一个分支学科，是研究弹性体由于外力载荷作用或者温度改变等因素引起的物体内部所产生的位移、形变和应力的经典科学。弹性力学研究的范畴是理想弹性体的小变形状态，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。弹性力学研究的内容是外力作用下弹性体的应力、应变和位移。
（1）连续性假设 假设在物体体积内都被连续介质所充满，没有任何空隙，即从宏观角度认为物体是连续的。根据这一假设，位移、应变和应力等物理量均可以成为物体所占空间的连续函数。
（2）均匀性假设 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的，物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。在处理问题时，可以取出物体的任意一个小部分讨论。
（3）各向同性假设 假设物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，物体的弹性常数不随坐标方向变化。像木材、竹子以及纤维增强材料等，它们的物理性质与方向有关，属于各向异性材料。
（4）完全弹性假设 物体变形包括弹性变形和塑性变形。弹性变形就是当外力撤去以后物体恢复到原始状态，没有变形残留，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系，弹性变形与时间无关，也与变形历史无关。塑性变形则是当外力撤去后尚残留部分变形量，物体不能恢复到原始状态，即存在永久变形，塑性变形的应力和应变之间的关系不再一一对应，应力-应变关系与加载历程有关。
（5）小变形假设 在讨论弹性体的平衡等问题时，不考虑因变形而引起的几何尺寸变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。
凡符合前四个假设的物体，称为理想弹性体。应力和应变之间存在一一对应关系，满足胡克定理，与时间及变形历史无关。
作用于物体的外力可以分为体力、面力、集中力等三种类型。
（1）体力 体力也称体积力，就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，例如物体的重力、惯性力、电磁力等。一般情况下，物体内各点的体力是不同的。为了表明物体任意一点 P 所受体力的大小和方向，在 P 点区域取一微小体积元Δ V ，如图2.1所示，设Δ V 的体力合力为Δ Q ，则Δ V 的体力平均集度为Δ Q /Δ V ，当Δ V 趋近于0时，即为
这个极限 F 是矢量，就是物体在 P 点所受体力的集度。因为Δ V 是标量， F 的方向就是Δ Q 的极限方向，矢量 F 在坐标轴 x 、 y 、 z 上的投影分别是 X 、 Y 、 Z ，称为体力分量，有序排列，表示为矢量的形式：
体力分量的符号规定，方向与坐标轴正向一致为正；与坐标轴负向一致为负。体力是指单位体积的力，体力的因次是［力］［长度］ -3 ，量纲为L -2 MT -2 。
图2.1 体力示意图
（2）面力 面力也称表面力，是分布在物体表面上的力，例如风力、静水压力、物体之间的接触力等。物体在其表面各点所受到的力，一般也是不同的。在物体表面上取包含 P 点的微元，如图2.2所示，假设作用在物体表面Δ S 上面力为Δ T ，则面力的平均集度为Δ T /Δ S ，当Δ S 趋近于0时，即为
该极限 F s 为物体表面上 P 点所受面力的集度，也是矢量。 F s 在坐标轴 x 、 y 、 z 上的分量分别是 X N 、 Y N 、 Z N ，称为面力分量，表示为矢量的形式：
面力与体力符号规定相同，即与坐标轴正向一致为正，与坐标轴负向一致为负。面力的因次是［力］［长度］ -2 ，量纲为L -1 MT -2 。
图2.2 面力示意图
（3）集中力 集中力就是作用于物体某一点上的力。不论 P 点是在物体内部还是在表面上，只在 P 点附近很小区域存在作用力，其他区域数值为0，在有限元分析中集中力是常见形式，譬如悬挂重物的作用点，车轮对桥面作用等都可认为是作用于 P 点的集中力。集中力分量的矢量形式为
集中力分量的符号规定，沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。集中力的因次是［力］，量纲为LMT -2 。
在材料力学中已经了解了应力的概念及斜截面上的应力，斜截面上的应力可分解成一个正应力分量和一个切应力分量。根据复杂物体任意截面上应力的定义，假设用过物体内 P 点的任意截面 m — n 把物体分为这两部分，这两部分的作用互为作用与反作用，大小相等、方向相反。在截面上 P 点的某个小邻域取出一包括 P 点在内的微小面积元Δ A ，截面 m — n 的外法线为 N ，在Δ A 部分对其作用力为Δ T ，则
该极限矢量 s N 就是物体在截面 m — n 上 P 点的应力。应力的因次是［力］［长度］ -2 ，量纲为L -1 MT -2 。
应力矢量 s N 的下标表示了其所在微面的法线方向，应力矢量 s N 与微面法线通常有一定夹角。描述应力矢量 s N 时通常采用沿微分面的法线方向及切线方向进行分解，而不采用沿坐标轴 x 、 y 、 z 方向分解。沿法线方向的应力用 σ N 表示，称为 m — n 截面的正应力；沿切线方向的应力用 τ N 表示，称为 m — n 截面上的切应力或剪应力，如图2.3所示。截面 m — n 的法线方向是唯一的，但切线方向在截面内却不是唯一的，这样剪应力 τ N 的方向实质上并未确定。为了解决该问题，将 τ N 沿两个互相垂直的方向分解，得到相应的两个剪应力分量，所以复杂物体任意截面上的应力可以用一个法向的正应力和两个平面内的剪应力来表示。
应力矢量的大小及方向不仅与“分析点”在弹性体内的位置有关，还与考察面的方位即微分面法线与坐标轴的夹角有关。换言之，通过 P 点截面 m — n ，当其法线方向改变时，应力矢量随之变化，因此必须明确应力矢量的位置以及经过该点的哪一个微分面。由于通过物体内一点的微分面有无数个，这就使一点的应力分量描述多样化，但作用效果是不变的。为了便于统一分析和计算，用一个平行六面体来描述 P 点，平行六面体的棱边分别与 x 、 y 、 z 轴平行，边长分别为d x 、d y 、d z ，当边长趋于0时，平行六面体即为一个点。平行六面体的表面按其法线与坐标轴平行，分别称为 x 面、 y 面、 z 面，外法线与坐标轴正向一致的为正面，外法线与坐标轴负向一致的为负面。
在平行六面体表面上定义应力，每个表面上的应力都可以用一个法向的正应力和两个与坐标轴平行的剪应力表示。因为物体处于平衡状态，正面与反面上的应力大小相等、方向相反（未考虑增量），为简明起见，只画出正面上的应力分量，如图2.4所示。
应力分量的表示方法：
正应力分量：每个面上有一个量，只要用一个下标，既可表示作用面，又能区分作用方向，用 σ x 、 σ y 、 σ z 分别表示 x 面、 y 面、 z 面上的正应力分量；
图2.3 斜截面上应力分量示意图
图2.4 一点的应力状态
剪应力分量：每个面上有两个量，共有6个量，要区分作用面及其作用方向，必须用两个下标表示。规定第1个下标表示作用面，第2个下标表示作用方向，如 τ xy 表示 x 面上与 y 轴平行的剪应力分量。所有剪应力分量为 τ xy 、 τ xz ， τ yx 、 τ yz ， τ zx 、 τ zy 。
外力的符号是由外力的方向与坐标轴方向的关系来确定的，与坐标轴正向一致的始终为正。应力属于内力，根据变形趋势来确定其符号。正应力以受拉为正，受压为负；剪应力以夹角变小为正，夹角变大为负。为便于记忆，类似于有理数运算法则，同号相乘为正、异号相乘为负的原则，六面体应力符号规定表述为：
面上应力方向与坐标轴
向一致的为
；
面上应力方向与坐标轴
向一致的为
。
图2.4所示的所有应力分量均为正。正应力符号与材料力学的规定相同，但剪应力与材料力学的规定并不完全相同。
六个剪应力分量之间存在一些互等关系，称为剪应力互等定理：
τ xy = τ yx ， τ xz = τ zx ， τ yz = τ zy
说明作用在两个互相垂直面上并且垂直于两面交线的剪应力是互等的，二者大小相等，正负号相同，剪应力的实际方向同时指向或背离两面交线。因此，剪应力符号中的两个下标可以对调，不必再区分哪个下标表示作用面或是作用方向。
实际上，物体内任意一点的应力有三个正应力分量 σ x 、 σ y 、 σ z 与三个剪应力分量 τ xy 、 τ yz 、 τ zx ，用这六个量可求得经过该点任意截面上的正应力和剪应力，即可以完全确定该点的应力状态。换言之，若某点的应力状态已确定，则该点的六个应力分量全部已知。通常应力分量写为矢量形式
σ =｛ σ ｝=｛ σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx ｝ T
所谓形变就是形状的改变，是描述物体受力后发生变形的相对力学量。物体的形变程度一般用六面单元体的三条互相垂直的棱边的伸缩程度以及棱边之间夹角的改变量来描述。棱边的相对伸长或缩短量称为正应变，有时也称线应变，用 ε x 、 ε y 、 ε z 表示，其意义为沿3个坐标轴方向的相对伸长量， 正应变以伸长为正、缩短为负 ；棱边之间所夹直角的改变量称为剪应变，记为 γ xy 、 γ yz 、 γ zx ，如 γxy 的意义为 x 与 y 轴夹角的改变量，以弧度表示， 剪应变以直角变小为正、增大为负 。
描述空间一点的形变需要六个应变分量，与应力分量对应，应变分量记为
ε =｛ ε ｝=｛ ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx ｝ T
位移就是位置的移动量。由于外载荷作用或者温度变化等外界因素影响物体产生变形，物体内各点在空间的位置将发生变化，描绘物体位置变化的量称为 位移 。位移包括刚体位移和变形位移两部分：刚体位移是由于物体整体在空间做刚体运动而引起的位置改变，物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变；变形是物体整体位置不变，但物体在外力作用下发生形状的变化，而改变了物体内部各个点的相对位置。后者与弹性体应力有着直接的关系，是弹性力学研究的重点，通常叫 位移 。位移是矢量，既有大小也有方向，沿 x 、 y 、 z 坐标轴方向的投影 u 、 v 、 w 称为位移分量。位移分量与坐标轴方向一致为正，反之为负。位移分量的因次是［长度］，量纲为L。位移分量记为
f =｛ f ｝=｛ u v w ｝ T