3.2 隔振理论

3.2.1 线性隔振理论

在研究磁刚度非线性隔振理论之前，首先简要介绍一下线性隔振理论。图3-1为经典的线性隔振系统理论模型，为单自由度系统，在基础激励 的作用下，线性隔振系统的运动微分方程如下：

其中， m 、 c 和 k 分别为隔振系统的质量、等效黏弹性阻尼和线性弹簧刚度； 和 分别为相对加速度和相对速度； 为作用在基平面上的激励加速度。

对式（3-1）进行傅里叶变换，在零初始位移和初始速度条件下，线性隔振系统的复频响应函数为

图3-1所示的被动隔振系统的位移传递率为

其中， ζ 为阻尼比； 为频率比； ω _n 为角固有频率。

由图3-2可知，当激励频率大于 时，隔振器传递率 T 小于1，隔振器开始隔振，此时阻尼越小越好。当频率小于 时（即共振区），传递率 T 大于1，主要靠阻尼减振。增大阻尼在共振区有利于减振，而在隔振区并不利于隔振。因此，通过降低固有频率可提高隔振器的隔振带宽。然而较低固有频率的隔振器会产生较大变形，影响支撑能力，导致位姿失稳。

3.2.2 低频非线性隔振理论

非线性隔振理论是近年来新发展起来一种低频隔振方法，可以解决隔振系统承载能力与隔振带宽之间的矛盾。图3-3为一种经典的“三弹簧”式准零刚度隔振器理论模型，由竖直的线性弹簧和两个水平（或斜拉）弹簧组成，两个水平弹簧可以实现等效负刚度，以获得准零刚度特征，其中， k _v 为线性刚度； k _h 为非线性弹簧刚度（即预压一定的变形）。

根据文献[23]可知，“三弹簧”系统的力-位移关系为

在准零刚度的工作区间内，式（3-4）可以用多项式近似简化为

此时，非线性隔振系统的运动方程可以写为

式（3-6）为经典的Duffing方程，根据谐波平衡法可以求解幅频响应关系，然后根据输入与输出关系，得到准零刚度隔振系统的传递率为

其中， r 为位移响应的幅值。

图3-4为“三弹簧”式准零刚度隔振系统的传递率曲线，可以看出，负刚度的作用，使得系统传递率降低，通过改变结构参数，可以调整系统的隔振性能。由此可知，非线性隔振系统具有非常明显的优势，即提供等效负刚度以降低系统动刚度，但其高静刚度特征并不影响系统的承载能力，因而得到了广泛且深入的研究。