2.4 非线性磁力模型

2.4.1 轴线重合的一对环形永磁体间非线性磁力

图2-6为一对轴线重合的环形永磁体模型，由沿轴向磁化的环形永磁体PM ^M 和PM ^b 构成，按照磁化矢量分为 M _M 和 M _b 磁化。下面根据电流模型给出非线性磁力的计算表达式。

对于环形永磁体PM ^M ，体电流密度为 J _v =Δ× M =0，由上节知识，可将面电流密度写为 ^[50，133] ：

其中， B _{r M} 为永磁体的剩磁感应强度； R _Min 和 R _Mout 为磁环的内、外径。

由于 z × z = 0 ，其中，（ r ， z ， φ ）为柱坐标系中的单位矢量，因此，环形永磁体上、下表面的电流密度均为0。

同理，环形永磁体PM ^b 的面电流密度可以写为

根据安培力定理，永磁体PM ^b 的载流元 J _sb d S _b 对永磁体PM ^M 的载流元 J _sM d S _M 产生的永磁力可按照式（2-14）计算 ^[134] ：

其中， 为永磁体PM ^b 在永磁体PM ^M 上任意一点 P ^M 处产生磁感应强度。

将式（2-12）和式（2-13）代入式（2-14），积分可得

其中

式中， 。当两个磁体的间距不变时， z =0。

需要说明的是，电流模型是一种对永磁体所产生的磁场和磁力进行近似解析建模的方法。另外，电荷模型也是一种有效分析永磁体的方式，分析方法和过程与电流模型类似。不同的是，电荷模型把永磁体近似为体电荷密度 ρ _m 和面电荷密度 σ _m ，其中， ρ _m =-Δ· M =-Δ· M z 。对于图2-6所示的均匀磁化环形永磁体，体电荷密度为0，面电荷密度可以用 σ _m = M · n 计算，其中， n 为磁体上表面的外法线方向，因此，上下表面的面电荷密度分别为 M 和 -M 。相关的磁力分析和计算可参考文献[132]。

2.4.2 轴线不平行的一对环形永磁体间非线性磁力

上一小节讨论了轴线重合的两环形永磁体间非线性磁力计算，本小节将讨论更为一般的情况，即轴线不重合的情况，如图2-7所示，磁体PM ^b 与水平线之间的夹角为 θ 。

两个磁体的面电流密度仍然可以使用上节给出的式（2-12）和式（2-13）进行计算，其中，永磁体PM ^b 的载流微元 J _sb d S _b 对永磁体PM ^M 的载流微元 J _sM d S _M 产生的永磁力也可以用式（2-14）计算。由于PM ^M 和PM ^b 的轴线不重合，存在夹角 θ ，可在PM ^b 几何中心建立局部坐标系（ r _b ， φ _b ， z _b ），其与柱坐标系（ r ， z ， φ ）之间的转换矩阵表示为

因此，局部坐标系中永磁体PM ^b 的载流元 J _sb d S _b 可通过转换矩阵转换到广义主坐标系中

其中， k _b =1表示永磁体PM ^b 的内表面，此时 R _b （1）= R _bin ; k _b =2表示永磁体PM ^b 的外表面，此时 R _b （2）= R _bout 。

根据毕奥萨伐尔定律可知 ^[134]

其中， k _M =1和 k _M =2分别为永磁体PM ^M 的内、外径； 为两载流元之间的矢距，可用以下矢量表示

根据以上分析可知，环形永磁体有内外两个面电流密度矢量。因此，一对环形永磁体之间有四种相互作用方式。将式（2-18）和式（2-19）代入式（2-14），并对电流源进行面积分，则永磁体PM ^b 和永磁体PM ^M 之间的非线性磁力可表示为

其中， z 为永磁体间的相对位移， ； D 、 θ 、 H _M 和 H _b 如图2-7所示；“b”和“M”代表永磁体PM ^b 和PM ^M 。

2.4.3 非线性磁力的测量

以上两小节给出了两种特殊情况下环形永磁体间的非线性磁力的表达式，为了验证基于电流模型结果正确性和有效性，本小节基于测力计，设计了非线性磁力测试试验，并开展了多组测试。

为了降低铁磁性材料对磁力的干扰，试验中尽量选取非金属材料或铝合金设计夹具。表2-2为所选取PM ^M 和PM ^b 环形永磁体参数。首先验证2.4.1节中计算一对正对环形永磁体间磁力时式（2-15）的有效性。由图2-8可知，试验和计算的磁力结果吻合较好，验证了式（2-15）的正确性。此外，将PM ^M 和PM ^b 的轴向按照垂直方向安装，即 θ =90 ° ，图2-8b为试验和仿真结果对比图，可以看出，试验结果验证了理论计算结果，这也表明基于电流模型的非线性磁力表达式可用于磁体间的磁力计算与评估。