2.3 环形永磁体的磁感应强度

2.3.1 理论模型

麦克斯韦方程组给出了电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的定量描述，其中也包含了本书所涉及的磁场间的相互作用力。为了得到环形永磁体间的永磁力，一般而言，可将其简化为电流模型或电荷模型，这样可以采用安培力定理进行求解。本章主要对环形永磁体的磁场及永磁力进行建模。

图2-1为单个环形永磁体的电流模型，可将环形永磁体简化为体电流密度 J _m 和面电流密度 J _s ^[132] 。假设磁体沿轴向以磁化矢量 M = M z 均匀磁化，其中， z 为单位轴向矢量。此时，体电流密度和面电流密度可以分别写为

式中，Δ为那勃勒（Nabla）算子； r 为单位径向矢量； φ 为单位周向角度矢量。

可以看出，沿轴向均匀磁化的环形永磁体的体电流密度为零。此外，由于磁体上、下表面的法向矢量与 z 平行，上、下表面的面电流密度也为零。这样一来，环形永磁体仅剩内外两个表面的面电流密度。定义外表面的外法线方向设为正方向，此时，环形永磁体的面电流密度可以写为

式中， R _in 和 R _out 分别为永磁体的内外半径。

磁化矢量 M 和磁感应强度 B 有如下关系：

式中， H 为磁场强度。

通过磁化矢量 M 磁化永磁体时， H 和 B 构成磁滞回路，当 H 为0时的磁感应强度称为剩磁强度，记为 B _r0 ， μ ₀ =4π×10 ^-7 为真空中的磁导率，则有 B _r0 = μ ₀ M 。这样一来，在柱坐标下，环形永磁体外任意一点 P 处磁感应强度可以写为以下矢量形式

式中

式中

其中， r′ 为具有面电流密度的永磁体内外表面半径， R _c （1）= R _in ， R _c （2）= R _out 。

2.3.2 仿真分析

上述理论模型给出了环形永磁体外任意一点的磁感应强度的计算方法，现任取一环形永磁体来验证以上理论结果，其中，尺寸为 ϕ 15mm×6mm，内径为4mm，剩磁强度 B _r 为1.31T。根据式（2-6）和式（2-7），图2-2为该环形永磁体外任意一点 P （22mm，0，-2mm）处的 B _r 和 B _z 随 H / R _in 以及 R _out / R _in 变化的曲线，图2-3为2D云图，可以看出，磁感应强度 B _r 和 B _z 随着磁体厚度 H 和外径 R _out 的增大而增大。因此，可通过增大磁体的厚度以及外径来增大磁感应强度。

2.3.3 剩磁强度的标定

虽然式（2-5）～式（2-8）可用于计算磁感应强度，但是所购置永磁体的真实剩磁感应强度与出厂标定值存在一定的误差，在一定程度上影响非线性磁力及机电耦合系数的计算精度。因此，准确的剩磁强度对于非线性力及刚度的分析至关重要。由以上理论分析可知，环形永磁体上下表面的 B _r 为零，仅 B _z 贡献了环形永磁体的磁感应强度 B 。因此，可用以下的方法对环形永磁体的剩磁进行标定。首先，假设磁场强度 M 是常数，因此，可根据式（2-8）先计算磁体上表面或下表面的磁感应强度 B _z 。其次，使用高斯计测量磁体上表面或下表面的磁感应强度，如图2-4所示。如果两者吻合，证明磁体的剩磁无须标定。一般而言，这两者存在差距，此时，环形永磁体的剩磁感应强度可以用下式进行标定：

当 B _{r 0，假设} 为1时，可得

表2-1为三种不同尺寸的环形永磁体，图2-5为计算和测量的三种环形永磁体的剩磁感应强度曲线，可以根据式（2-11）推算出三个环形永磁体的剩磁感应强度分别为1.0325T、0.96T和1.1912T。