DH参数法是由Denavit和Hartenberg于1955年提出的一种描述串联式连杆和关节的系统方法。1986年John J.Craig提出了一种改进的DH参数,在建立关节坐标系时将坐标系固结于该连杆的近端,而非远端,更符合直观理解。为了便于区分,这种方法称为改进DH(modified DH),而将之前的方法称为标准DH(standard DH)。
相邻坐标系之间及其相应连杆可以用齐次变换矩阵表示。将连杆各种机械结构抽象成几何要素及其参数,即公法线间的距离 a i -1 和垂直于 a i -1 所在平面内两轴的夹角 a i -1 ;另外相邻杆件之间的连接关系也被抽象成两个量,即两连杆的相对位置 d i 和两连杆公垂线的夹角 θ i ,如图3-4所示。
图3-4 Craig形式的连杆四参数及坐标系建立
为了建立机器人的运动学模型,需要建立关节坐标系并确定DH参数,步骤如下所示。
1.建立坐标系
1)找出各关节轴,并画出这些轴线的延长线。在下面的步骤2)~步骤5)中,仅考虑两条相邻的轴线(关节轴 i 和关节轴 i +1)。
2)找出关节轴 i 和关节轴 i +1之间的公垂线,以该公垂线与关节轴 i 的交点作为连杆坐标系{ i }的原点(当关节轴 i 和关节轴 i +1相交时,以该交点作为坐标系{ i }的原点)。
3)规定 z i ,轴沿关节轴 i 的方向。
4)规定 x i ,轴沿公垂线 a i 的方向,由关节轴 i 指向关节轴 i +1。如果关节轴 i 和关节轴 i +1相交,则规定 x i 轴垂直于这两条关节轴所在的平面。
5)按照右手定则确定 y i 轴。
6)当第一个关节的变量为0时,规定坐标系{0}与坐标系{1}重合。
2.确定连杆参数
1)连杆长度: a i -1 沿 x i -1 轴,从 z i -1 移动到 z i 的距离。
2)连杆扭转角: α i -1 绕 x i -1 轴,从 z i -1 旋转到 z i 的角度。
3)连杆偏距: d i 沿 z i 轴,从 x i -1 移动到 x i 的距离。
4)关节角: θ i 绕 z i 轴,从 x i -1 旋转到 x i 的角度。
根据上述规则,可以确定Craig的改进DH方法实现了关节参数的下标与关节轴对应。
1.改进DH
这种关系可由表示连杆 i 对连杆 i -1相对位置的4个齐次变换描述。根据坐标系变换的链式法则,坐标系{ i -1}到坐标系{ i }的变换矩阵可以写成
其中, R , Q 和 P 表示根据DH变换法则旋转后的坐标变换状态。每一个变换都是仅有一个连杆参数的基础变换(旋转或平移变换),根据各中间坐标系的设置,变换矩阵可以写成
由变换矩阵连乘可以计算出 的变换通式为
其中, cθ i 表示cos θ i , cα i -1 表示cos α i -1 , sθ i 表示sin θ i , sα i -1 表示sin α i -1 。
2.标准DH
上述介绍了改进DH法,下面也给出标准DH法,感兴趣的读者可自行学习和研究。
标准DH参数和改进DH参数之间的区别是连接到连接的坐标系统的位置和执行的转换顺序。式(3-22)是利用标准DH参数建模的齐次旋转矩阵。