1.2 结构性能数值分析的理论内核与建模

虽然都有三维图形的静态或动态显示，但是不要将结构性能数值分析软件中的前后处理器的图形处理与虚拟现实（VR）的图像处理混为一谈。VR技术也有算法，例如处理图形数据过程中的数据轻量化算法，而结构性能数值分析则是将一个工程问题抽象为一个计算模型以后的数值求解，以数值分析技术中常用的有限元方法为例，它的本质其实源自于数值求解变分与微分方程的有效性，源于坚实的物理和力学理论基础。

相对于解析解，数值解的概念是数学家提出的，当一个物理模型被建立以后，由于边值条件的复杂性，其以微分方程或积分方程表示的数学模型难以获得解析解，因此研发了一系列的数值求解方法。在现在的数学手册里可以查阅到一系列复杂问题的数值求解方法，例如：求解常微分方程的Runge-Kutta法、求解偏微分方程的差分法，还有求解变分与偏微分方程的有限元法、求解矩阵特征值的Jacobi法、幂法等。数值分析作为一门计算技术起步很早，但是直到电子计算机问世后数值分析技术才具有了实用意义。科学家将数值求解方法编成计算机软件并放置到一个求解库里供大家调用，如果将前后处理器与求解器集成，就可以形成功能强大的数值分析软件。

前面讨论了数值分析在产品设计阶段的重要性，然而数值分析技术本身并不能自动转化为产品的附加值，要想实现这个转化，一个非常关键的工作是建模（ Creating Model），计算经验告诉我们，一个工程问题的满意计算，建模是关键环节，建模的工作量大约占全部计算工作量的70%～80%，而计算结果的置信度由模型的置信度控制，而控制模型置信度的两个因素中人的因素比计算工具因素更重要，因此有人将计算建模比喻为一门综合艺术是有一定道理的。

在数学家看来，建模这个过程是将原型（Prototype）中的一部分信息提炼，构造一个原型的替代品，即针对一个特定的对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，提出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，最后得到一个数学结构 ^[3] 。在这个逻辑链条中，把握住特有的内在规律是最关键的一环，只有这样才能使“必要的简化假设”行为受到有效控制。另外参考文献 [3] 还指出模型总是有局限性的，其实，数学模型如此，结构数值分析模型也是如此，承认模型有局限性是一种科学的态度，这样在模型质量评价时才能排斥绝对性。但是还要注意，局限性有主观局限性与客观局限性之分。前者与建模人的能力相关，可以控制；而后者与计算环境相关，不可能加以控制。

与数学领域的建模相比较，结构性能数值分析建模有自己的特殊性，因为它归属于物理和力学领域，其物理和力学定律已经成熟，其用于求解物理和力学问题的数学工具已经具备，因此其数值求解过程已经标准化、程序化。以工程结构计算应力、位移、固有频率的有限元法软件为例，主要的计算步骤是：

1）将需要评估的对象简化为可以划分网格的几何构型。

2）选择合适的单元类型，赋予对应的材料属性。

3）进行有限元网格离散。

4）组建计算工况，施加已知的各种载荷。

5）施加位移约束条件。

6）模型质量估计。

7）确认求解参数，进入求解程序进行求解。

8）输出并显示各类响应，例如结构位移、应力、固有频率等。

在这个计算流程上，第1）步到第6）步属于前处理，第7）步属于求解，第8）步属于后处理。对于一些商用软件来说，其求解器与后处理器的能力已经被程序固化，且一直维持或更新在很高的水平上，它不需要用户人为干预，因此第1）步到第6）步就构成了建模的全部内容。如此看来，与创建数学模型相比，创建有限元之类的结构计算模型似乎是一个相对简单的作业，然而事实却不是这样的。下面给出几个简单案例说明建模存在主观不唯一性。

1）图1-4是车辆结构中常见的不同厚度薄板的组焊结构，其中图1-4a所示的是有侧立柱补强的侧墙，图1-4b所示为侧墙补强结构细节。在建模时，如果将b图中的两个板厚度相加，显然增大了局部刚度，如果分开考虑，那么一个看似比较简单的问题将被转化为一个相对复杂的非线性接触问题。

2）长24.5m，宽3.26m，高3.89m的高速动车组车体普遍采用模块式的中空挤压铝合金型材拼焊而成，图1-5箭头所指是车体底架的焊接接头，其几何形状很不规则，如果全部用三维块体单元离散，可以保持几何形状的一致性，但是单元数量将急剧增加；如果全部用薄壳单元离散，将显著减少单元的数量，但是新的问题是建模时该怎样定义接口处的厚度。

3）图1-6所示是许多车辆上常见的焊接接头，结构设计时工程师在图样上或三维几何上已经按照规定清楚地标注了焊缝的大小，现在需要计算应力集中以及疲劳寿命。那么在建模时，如果用薄壳单元离散，将显著减少求解规模；如果按照焊缝实际尺寸将焊缝离散为三维块体单元，那么母材也将用三维块体单元离散，这种似乎直观的作业却导致求解规模显著增加。

4）图1-7所示是某类载货平车，货物下的几个垫木的放置是为了方便叉车作业。为了校核车体强度，有人将货物的总重转化为通过垫木而施加到车体上的均布载荷，然而事实证明这一看似合理的简化其实并不合理，因为下传的载荷分布与支撑刚度的不均匀程度相关。

可见，数值分析模型的不唯一性是主观存在的，为了避免计算模型因人而异，有人将希望寄托于不计成本与计算效率的网格加密上，其实这样做等于将一个内涵原本很丰富的建模工作简单化了。事实上，网格加密不能解决所有问题，选择高精度单元也不能解决所有问题，例如，当考察焊缝焊趾上的应力集中分布时，由于焊趾处存在结构奇异性，不管网格多细小，该处的应力集中将不可能被直接计算出来，后面将要证明，如果计算方法得当，该处根本不需要过密的网格，也不需要高精度的单元。

被评估的对象越复杂，上述的主观不唯一性越突出，例如，创建刚体与柔性体耦合的结构动力学模型时，柔性体的模态截止频率该如何确定？还有，图1-8所示的是两个承载散装颗粒状货物的车辆，在计算该车结构的固有频率时，因为颗粒货物只有质量而没有刚度，那么如何创建含散装颗粒状货物的模态计算模型？显然，对于类似的问题不同的人可能给出不同的建模对策。

总之，还可以列举出许多类似的建模问题，而且这些问题有一个共同之处，即在教科书里很难直接找出现成的解决办法。但是事实又证明：凭借建模人的理论修养与建模经验，且在模型的简化与计算结果的准确性这二者之间做出一个科学的、恰当的折中，问题中的难点是可以被逐一化解的。

上一节已经提到了结构数值分析的三个目的，获得结构响应仅是一个较低层次的目的，而对结构设计方案提出修改方向或具体建议，以及基于数值分析结果实现结构多方案比较、选优则是更高层次的目的。将数值分析结果反馈于产品结构设计，应该主动自觉去执行，辛辛苦苦创建的一个计算模型，不应该仅停留在第一个层次上，即使数值分析结果证明了设计指标都得到了满足，那也不能证明当前这个设计一定是最好的，因为从优化设计的角度看，那只能证明当前设计点的确落在最严可行域之内了，仅此而已。

在工程结构产品设计阶段，产品性能越复杂，结构优化设计理论的工程实践就越困难，困难的原因通常不在于优化算法本身，而在于产品的设计变量种类多，优化目标多，且一些性能约束、工艺约束难以建立数学模型，因此至少在现阶段，许多结构设计师倾向于将数值分析结果与自己或他人的设计经验相结合，从而使得设计一步一步地趋于更好。针对这种情况，可以利用“结构灵敏度分析模块”，为设计逐步趋于更好提供一个可行方向上的科学支撑。

提出这一支撑，是受启发于结构优化设计中朴素的可行方向法，因为具有丰富设计经验的工程师们选择的设计方案与“最优”方案的距离不会太大，但是当一个设计方案的输入与输出之间表现出复杂的隐式关系时，某个设计参数的修改可能导致设计目标之间的顾此失彼，例如，图1-9所示是某一个受弯曲载荷的梁因静强度不足而补焊一个盖板，补强后焊缝处的母材应力水平的确下降了，但是随之而来的是该处端焊缝上的应力集中水平反而提升了，从而导致结构整体疲劳强度达不到设计要求。

因此在这个看似简单的补强问题上，仅凭借经验的设计修改已经很难做到静强度与疲劳强度的兼顾。工程上，类似的困难案例还可以举出很多。

本书不讨论多目标优化设计理论中的各种算法，有兴趣的读者可以参考文献[4]。在这里，我们推荐的是结构灵敏度分析技术，因为一些商用软件已经开发了灵敏度分析模块，例如ABAQUS、NAS-TRAN的灵敏度分析模块。结构灵敏度分析的数据很有工程价值，如果弃之不用岂不可惜。

关于“结构灵敏度分析模块”中的若干内容以及应用实例，后面第8章中将有较详细的介绍，图1-10简要地给出了结构灵敏度分析与设计方案修改的关系。