下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
模态叠加法的优点是通过“坐标变换后的解耦”将一个复杂的结构系统问题转化为若干个简单问题的叠加，因此对于工程结构规模较大、低阶阵型为主、阻尼可以按照比例分配、载荷时间历程较长的响应计算具有较好的工程应用。
逐步积分法（也称为直接积分法）也是一种常用的求解结构振动响应的方法。当某个工程问题并不需要求解结构振型和频率时，该方法是十分有效的。
逐步积分法，顾名思义，是通过数值积分的方式求解运动微分方程，或者说，这是一个数学上利用离散化差分格式求解二阶微分方程的问题。一般是将积分的时域 T 离散为 n 个很小的时间域Δ T ， T =∑Δ T ，于是一个需要在全域连续被满足的运动方程的求解问题就转化为在若干个离散时间点上需要满足某种要求的问题，同时，在每一个很小的时域内，或者对加速度，或者对速度及位移的变化关系进行某种假设，于是就得到了不同的数值积分法，例如假设区间内加速度线性变化，就是线性加速度法；如果将区间外延，然后再假设外延区间内加速度是线性变化，就是威尔逊（Wilson-θ）法；如果假设区间两端点上的速度、位移满足一种关系，就是纽马克（Newmark）法。上述方法也统一称为广义线性加速度法。由于在求解过程中计算每一步都需要解一个线性代数方程组，因此这些算法是隐式的。至于所谓的中央差分法，它是将速度与加速度用位移的差分表示，然后直接代入微分方程组对位移直接求解，因此这一算法是显式的。参考文献[20] 对上述算法有精辟的论述，其中包括解的收敛性、稳定性、相容性、精度等。
在大型的商用有限元软件中，常用的几个逐步积分法已经作为求解器嵌套其中，形式上，用户似乎仅需要输入若干结构系统参数即可求解，然而事情并非如此简单，其中积分步长的选择要综合考虑结构特征与载荷特征，通常，积分步长要小于计算敏感周期的1/10，这样算法中的线性假定才有意义，但是积分步长过小又将消耗较多的计算时间。
逐步积分法的数据链隐藏在求解步骤中，下面给出的是威尔逊（Wilson-θ）法的求解步骤：输入矩阵 K 、 M 、 C ，输入初始载荷，构建运动控制微分方程；输入初始位移与速度，利用动力平衡关系求解初始加速度；给定与威尔逊（Wilson-θ）法对应的积分参数；求解下一时刻的运动响应（加速度、速度、位移），并取值为下一个积分步的初始条件，依次步进，直到最后一个时间步长结束。