下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
模态叠加法，有的文献又称之为振型叠加法。它的数学基础是坐标基底的线性变换；力学基础是模态中主振型具有正交性，即通过坐标变换将一个多自由度的结构动力学问题转化为多个不耦合的单自由度问题，然后对单自由度问题分别求解后叠加获得原问题的解。
数学上，引入一组新的坐标 ξ = （ ξ 1 ， ξ 2 ，…， ξ n ） T ，并使新的坐标 ξ 与原物理坐标 y 之间构成一线性变换，即
如果将式中 φ i 理解为第 i 阶主振型矢量，这相当于利用主振型矢量 φ 1 ， φ 2 ，…， φ n 构成了一组 n 维基底矢量，而原物理坐标系下定义的位移响应 U 就转化为 n 个主振型矢量的线性组合，而 ξ i 则为第 i 个主振型矢量（主模态）对系统位移响应的参与因子，或者称之为加权因子。系统给定以后，主振型矢量 φ 1 ， φ 2 ，…， φ n 是给定的，于是原问题的求解就转化为求解对应的参与因子。
以主振型矢量 φ 1 ， φ 2 ，…， φ n 定义的新坐标系被称为模态坐标系，在这个模态坐标系下，主振型矢量具有正交性，因此系统各自由度下的动能分量、势能分量互相独立，即不存在耦合，或者系统各阶主模态之间不互相传递能量，因此求解将变得简单。
对于一个多自由度的结构系统，如果考虑瑞雷黏性（比例）阻尼，则受迫振动的振动微分方程，即式（4-4）可以按以下步骤求解：
1）利用主振型的正交性，通过坐标变换可以在模态坐标空间将式（4-4）解耦为 n 个相互独立的单自由度的振动方程：
式中，
分别为模态坐标系下的质量、阻尼、刚度。
2）如果
为任意激振力，给定初始条件，可用杜哈梅积分求其响应。
3）如果
为简谐激励，则可直接求解得到
4）反演到式（4-20），就可得到原物理坐标系下时间历程上的位移响应
式（4-23 ）表明：与单自由度问题类似，多自由度的位移响应除了与系统自身参数相关外，也与激扰频率相关。当激扰频率 ω 与结构系统的某一个 ω i 接近时，结构系统将关于这个位移分量可能趋于共振。
值得注意的是，通常并不需要所有结构的振型参与模态叠加法的计算。如果将其振型按照它对应频率的大小依次由小到大排列，则一般应选取较低频率对应的振型参与叠加计算。原因有这么几个方面：第一，结构低频区传递函数数值较高；第二，工程问题中一般低频载荷能量较大；第三，高频响应在运动过程中很快被阻尼衰减。但在有些特殊情况下应该考虑中高频的影响，例如，结构承受的载荷具有中高频的敏感频率，或者需要对系统进行噪声类的分析。
综上所述，模态叠加法是先求出结构系统的一部分低阶频率及振型，然后将得到的这些振型作为广义坐标的基底进行坐标变换，变换以后结构系统被解耦，然后单独求解并叠加，从而获得原问题的近似解。
模态叠加法的求解过程：
1）如果是第一领域的多刚体动力学问题，其求解过程是：输入结构系统参数（质量矩阵、刚度矩阵、比例阻尼矩阵常数）→建立物理坐标系下运动微分方程，即式（4-4）→求解特征方程，即式（4-8）→变换到模态坐标系，即式（4-20 ）→主模态空间解耦并求解式（4-22 ）→反演回到物理坐标系并叠加获得原问题的位移解，即式（4-23 ）。
2）如果是第二领域的柔-弹性体动力学问题，除了在构建有限元模型过程中生成系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵外，其余求解步骤或数据加工过程同1）。
在构建和选用质量矩阵时，需要注意它的类型选项，一类是一致质量矩阵，另一类是集中质量矩阵。顾名思义，由于导出单元质量矩阵的位移插值函数与导出单元刚度矩阵的位移插值函数是一致的，一致质量矩阵因其而得名，它的质量分布虽然占了较大的计算资源，但已经不会给计算带来多大困难，因为现在提高计算能力的成本很低；集中质量矩阵是一个对角矩阵，它假定单元的质量集中在节点上，即质量矩阵为一对角矩阵而得其名，由于它占用的计算资源少，因此计算速度较快。
对本书提及的工程结构，倾向于选用前者，因为大的质量块可以被定义为质量单元而放到系统的模型之中。
最后，关于模态叠加法中取多少阶振型参入叠加的问题，应该通过工程经验逐渐摸索总结，一般来说，所选取的振型对应的频率范围应包含所研究工程问题的敏感频率。如果计算条件允许，可以选择若干个不同阶数的模态计算模型进行数值对比，当模态截取到某一阶以后数值解趋于一致，该计算对象的模态截取阶数就可以被确认。