4.1 结构动力学问题的基本微分方程

还是遵循由浅入深的原则从单自由度振动问题开始讨论，然后再拓宽到多自由度振动系统。其实，单自由度问题的内涵很丰富。

4.1.1 单自由度振动问题的基本微分方程及求解

基于力学基本原理，可以很容易地写出在复空间中在时域上度量的单自由度的运动微分方程

式中， m 为质量； k 为刚度； c 为阻尼； F ₀ e ^{j ωt} 为外部激扰力； F ₀ 为幅值； ω 为激扰频率，j为虚单位。

单自由度结构系统的固有频率是： ，这个频率与初始条件无关，仅取决于系统自身的质量 m 和抵抗变形的刚度 k ，这个看似简单的结论其实揭示了一个非常重要的规律：当结构系统质量增加时， ω _n 值将下降；当结构系统刚度减少时， ω _n 值将下降；反之， ω _n 值都将增加，而且后面还将证明复杂结构系统也有这一规律，该规律对建模纠错有着方向上的指导意义。

将式（4-1）做一个很小的调整，即将该方程的右端项移到方程的左边，这时式（4-1）的右端为零，这就意味着：第一项（惯性力）、第二项（阻尼力）、第三项（弹性恢复力）、第四项（外部激扰力）在任何时刻都维持着一种平衡关系。参考文献 [ 18 ] 很有创造性地用一个力的矢量平衡图给出了外部激扰力、惯性力、阻尼力以及弹性恢复力之间的动平衡关系。

进一步，可以将图4-1b想象为一个以角速度 ω 旋转的图，它意味着运动中每时每刻的平衡，再注意到图4-1a中的惯性力与弹性恢复力的方向总是相反，那么当外加激扰力的频率与结构的固有频率 ω _n 接近时，这两个方向总是相反的力将趋于互相抵消，如果此时系统的阻尼力很小（一般情况下也是如此），系统的位移响应将迅速增加，这意味着结构系统接近共振。

如果对式（4-1）两端进行傅里叶变换，那么时域方程将被变换为频域方程

式中， u （ ω ）为位移响应的傅里叶变换； F （ ω ）为输入载荷的傅里叶变换；二者之比为频率响应函数

频率响应函数一般代表了动力系统的位移放大参数，它表明：系统振动的响应，不仅与系统固有参数 m 、 k 、 c 相关，同时还与外界干扰力的频率相关。当系统的阻尼力很小且外界干扰力频率的平方 ω ² 接近 ω _n ² 时，式（4-3）的分母变得很小，频率响应函数值将迅速增加。

注意，以上讨论的单自由度结构系统振动的力学模型中，忽略了结构系统本身的弹性变形能力，结构被视为刚体，因此式（4-1）、式（4-3）是刚体动力学的研究基础。

需要强调的是单自由度问题所表现出来的振动规律具有普遍性。假如一个复杂的振动问题可以被分解为多个自由度问题的线性叠加，那么其中的每一个自由度的振动响应都遵循这一规律。

归纳一下，单自由度结构系统的求解过程是：给定系统（刚度数据、阻尼数据、质量数据、载荷数据）→构建方程式（4-1）→求解时域响应（获得时域位移）。

如果将这个数据链的末端与3.2节三维问题的数据链首端连接，并用弹性体替代刚体，然后构造一个恰当的数据接口，这样就可获得时域上的应变与应力。

4.1.2 多自由度振动问题的基本微分方程及求解

工程结构中振动问题大多数属于多自由度的振动，以一个车辆为例，由行走部位的转向架与车体构成，忽略其中每一个零件的弹性变形而视为刚体，它们之间用力元（弹簧器、阻尼器）相连，那么一个车辆的振动系统就可以用如图4-2所示的多自由度系统描述 ^[2] 。

基于力学原理创建多刚体自由度系统振动问题计算模型的途径很多，例如分析力学中基于能量微分型的拉格朗日方程就可以推导出如式（4-4）所示的运动微分方程组的矩阵表示

式中， M 、 C 、 K 分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵； F （ t ）为外载荷矢量，且系统的自由度总数决定了矩阵或矢量的阶数。

以图4-3所示的三个自由度的结构系统为例，因为问题比较简单，可以基于达朗伯尔动平衡原理创建其运动方程。

假设系统阻尼可以忽略，三个质量的位移 u ₁ 、 u ₂ 和 u ₃ 均以平衡位置作为自己的初始参考零点，因此系统的三个自由度由这三个位移分量定义。基于达朗伯尔动平衡原理，可以建立如式（4-5）所示的运动方程

虽然该结构系统仅有三个自由度，由于每一个方程都存在位移耦合，因此不能独立求解。为简洁与运算方便，将式（4-5）写成矩阵形式

式中，

对于任何保守的多自由度系统来说， K 总是对称矩阵，但也是非对角矩阵，其非对角位置上的非零元素的存在意味着自由度之间存在耦合。

假设每一个质量块离开平衡位置做简谐振动，由此可以推导出它的特征方程为

式中， A 为振型矢量。由于振动过程中 A 不可能为零矢量，那么式（4-7）的系数矩阵对应的行列式值必须等于零，即：

式（4-8）中的行列式展开之后，可以得到一个关于 的三次代数方程，解此方程可得到 的三个正根，或正的 ω _n1 、 ω _n2 、 ω _n3 值，这些值即为三个自由度体系的三个自振频率，因此式（4-8）又称为频率方程。频率方程表明，尽管是多自由度系统，系统的振动频率也仅取决于系统的刚度分布与质量分布。如果把 称为特征值，那么式（4-8）就是数学上的广义特征值问题。将从式（4-8）求得的每一个特征值 回代到式（4-7），即得与其对应的振型矢量（或称之为特征矢量）。对于 n 个自由度的振动体系，应当有 n 个自振频率和对应的 n 个特征矢量，当 n =1时， ，即得到前面讨论过的一个自由度问题的结论。与每一个 对应的振幅矢量 φ _i 称为主振型，或称为主模态。可以证明，多自由度系统主振型具有正交特征，即：

需要注意，各主振型矢量之间并不直接正交，而是一个振型矢量在 M 矩阵或 K 矩阵的旋转作用下才与其他振型矢量正交，因此 M 与 K 又被称为让振型正交的旋转矩阵。

关于阻尼矩阵，工程应用中常使用瑞雷阻尼的概念，即认为阻尼矩阵 C 是质量矩阵 M 和刚度矩阵 K 的线性组合

式中 α 和 β 为待定常数，参考文献 [13] 给出了一个由试验确定这两个常数的计算公式

式中， 为阻尼比。于是，由试验获得最低两阶振型的阻尼比 就可以给定 α 、 β 值。

由于瑞雷阻尼中高阶阻尼比高，从而抑制了振动中的高阶振型响应，所以瑞雷阻尼的概念在工程上被普遍认可。由于阻尼矩阵 C 被假定为 M 与 K 的线性组合，因此 C 矩阵也具有关于振型矢量的正交性。

将式（4-8）展开为频率方程或代数方程后可以直接求解特征值，这种解法虽然思路清晰然而却不现实。因为结构动力学问题中自由度非常多，而且我们仅关心部分低阶特征值（低阶固有频率与振型），所以数学家和力学家研究出一系列关于式（4-8）的求解方法、例如逆幂法、子空间迭代法、 Lanczos 法，雅可比法等。这些数学上的求解方法被嵌套在商业软件中供用户针对问题的不同而选用，关于这些数学求解方法的详细内容，可以参阅参考文献 [19，20]。 +uNuYdrvB3lHQ1X/kkZQT4krJ+mdvy6M+vaCI6e9eM5Husj3pZMO7+yc392GLWWS