下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
理论上，弯曲载荷作用下的薄板、厚板都属于三维结构，不过因其中一个坐标方向的尺寸与另外两个坐标方向的尺寸相比很小就将其定义为板。将这样三维结构定义为板是抓住了它主要用于抵抗弯曲的特征。
就板而言，有薄板、厚板之分，其界定是：如果板的厚度 t 远小于中面的最小尺寸 b ，例如 t 小于 b /5，则认为是薄板，如图3-4所示。注意，这一定义并不严格，然而却是必要的，因为厚板与薄板有着不同的力学特征，如果被定义为厚板，则需要考虑它沿厚度方向的剪切应变，而薄板则不需要考虑 [12] 。
图3-4 平面薄板的几何定义
为了使未学过这节知识的读者较快理解板弯曲理论，这里稍微说一句：如果把梁和板分别看成一维构件与二维构件，那么可以把板看成横行延拓的“二维梁”。正如梁的高跨比比较大时成为深梁，板的厚跨比较大时成为厚板。板的理论非常成熟，大量的文献中可以查到。考虑到薄板在工程结构中被大量应用，因此本节只讨论薄板小挠度弯曲问题的微分方程与数据链。
不同于弹性力学中的平面问题，在那里板的厚度假定为单位厚度，在这里板却有一定的厚度。此外，板还有上面与下面之分。在后面的有限元建模时将看到，虽然薄板的厚度在网格里被凝聚到中面上了，但薄板的上面、下面是有力学区别的。
薄板小挠度弯曲理论是基于以下三个基本假定而建立起来的：
1）在中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有点具有相同的位移 w ，即等挠度。
2）六个应力分量中，其中有三个分量远小于另外三个，因此它们引起的形变可以忽略不计。
3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，也就是说，中面的任一部分虽然弯曲成曲面的一部分，但是它在 xy 面上的投影形状却保持不变。
基于上述假定，参考文献 [12] 推导了小挠度 w 为基本未知函数的薄板的弹性曲面的微分方程
式中，▽为小挠度
w
的微分算子；
q
为作用在薄板的面载荷；参数
被称为薄板的弯曲刚度，它与薄板材料的物理特性相关，且给出了薄板的抗弯能力与薄板厚度之间三次幂的非线性关系，因此这一参数对设计修改或模型修改非常敏感。
由于绝大多数情况下很难使应力分量在薄板的侧面上精确满足应力边界条件，因此只能使用圣文南原理使边界应力的合力整体地满足边界条件。图3-5给出了薄板横截面上的内力与应力示意，式（3-10 ）给出了它们之间的量化关系。
图3-5 薄板横截面上的内力与应力示意
将式（3-10 ）与材料力学中的梁截面应力公式比较，说明把板看成二维梁确实颇有道理。显然，应力分量 σ x 、 σ y 、 τ xy 的最大值发生在板面， τ xz 及 τ yz 的最大值发生在中面，而 σ z 的最大值发生在板的上面，式（3-11 ）给出了它们各自的最大值。
注意，式（3-11 ）给出的关系对判断有限元计算结果是否合理很重要。通过推导，应变分量可以用挠度 w 表示为：
接着，结合物理方程
得到了另外一个以小挠度二阶偏导数表示的应力分量的表达式
结合边界条件求解式（3-9），可以得到薄板的挠度，然后结合式（3-12）与式（3-14），就形成了小挠度弹性薄板问题求解应变与应力的数据链：挠度→应变（挠度二阶导数控制的几何方程）→应力（挠度二阶导数控制的物理方程）。
与二维、三维问题类似，薄板问题的位移（垂向挠度）也是数据链的前端，因此挠度是薄板问题数值求解的关键。