3.3 超高强度硼钢板的本构模型

材料的本构模型即材料流动应力与应变之间的关系，是模具设计、工艺分析及金属塑性成形数值模拟等不可缺少的依据。建立合理的应力应变本构关系式对于研究金属材料的力学行为、揭示变形的微观机理有至关重要的作用。

建立本构关系的方法可以分为两类：一类是基于高温变形试验结果，通过宏观应力-应变曲线，结合内部参数，对试验数据进行回归分析，建立合适的流变应力数学模型；另一类是基于变形机理方面的描述，从位错密度、晶粒尺寸等微观结构入手，建立耦合的本构方程 ^[18] 。本节分别采用两类方法对硼钢板的本构模型进行构建。

3.3.1 基于井上胜郎模型的本构模型

由图3-7和图3-8可知，超高强度硼钢板的真实应力-应变曲线属于动态回复型，曲线进入峰值区后其峰值应力随应变的增加而增大，直至进入相对稳定阶段，此阶段动态回复的软化作用与热加工的硬化作用处于动态平衡状态。井上胜郎模型可清楚地反映应力与应变、应变速率及温度之间的变化关系，故以此为模型参考建立硼钢板的本构模型。

1）井上胜郎本构模型。井上胜郎的加工硬化与动态恢复型流变应力数学模型见式（3-1） ^[19] ：

对上式左右两边取对数，可得式（3-2）：

将超高强度硼钢板USIBOR 1500应力应变试验数据代入式（3-2），并用麦夸特法和通用全局优化法进行多元线性回归分析，获得的热冲压流变应力数学模型见式（3-3）：

式中， σ 为真实应力； ε 为真实应变； ε ·为应变速率； K 为强度系数，也为变形温度的函数； n 为硬化指数，也为变形温度及应变速率的函数； m 为材料应变速率敏感系数，也为变形温度的函数； T 为绝对温度，单位为K； β 是与材料有关的常数。

试验结果与拟合曲线对比如图3-9所示。

由图3-9可知，该模型在应变速率不大于0.1/s时与试验结果数据拟合较好，当应变速率超过0.1/s时则产生一定误差。为更好地描述热冲压成形工艺过程中超高强度硼钢板流变应力的变化，将基于井上胜郎模型的流变应力数学模型进行修正。

2）基于温度修正的井上胜郎本构模型。由前面叙述可知，温度是影响超高强度硼钢板真实应力的最大因素。为了获得与实际应力-应变曲线更加吻合的模型，首先对单一温度下的曲线进行拟合，而后分析拟合参数与温度的变化关系，从而获得修正的井上胜郎模型。在井上胜郎模型中， K 值和 β 值是与材料有关的常数，主要考虑温度对 n 值和 m 值的影响。

在单一温度下采用井上胜郎模型对873~1173K的材料真实应力-应变曲线进行线性回归分析，可获得不同温度下材料的 n 值与 m 值，见表3-3与如图3-10所示。

由图3-10可知，随着温度的升高，材料的 n 值逐渐减小，而 m 值逐渐增大，即温度越高，材料的加工硬化现象越不明显，但对应变速率越敏感。通过添加趋势线对不同温度下的 n 值与 m 值变化曲线进行拟合，如图3-10中的虚线所示，可知材料的 m 值曲线采用线性或二次多项式进行拟合效果相差不大。故本书采用线性函数 m = c + dT 对原模型中的 m 值进行修正；而材料的 n 值曲线采用线性和二次多项式进行拟合有一定差别，分别将 n = a + bT 与 n = a + bT + cT ² 两种模型代入原本构模型，获得式（3-4）：

分别采用这两种模型对试验数据进行拟合，两种修正模型的拟合效果相差不大。因此，在保证拟合精度的情况下，为了模型的方便使用，采用线性关系对 n 值和 m 值进行修正 ^[20] 。

通过温度对 n 值和 m 值的线性修正，获得修正的流变应力数学模型见式（3-5）：

通过试验结果进行多元线性回归分析可得修正后的超高强度硼钢板USIBOR1500的热冲压流变应力数学模型，见式（3-6）。修正后的曲线如图3-11所示。

可以看出，修正模型比原井上胜郎模型更适于定量描述热冲压成形工艺过程中超高强度硼钢板的流变应力变化，但仍旧存在一定的误差。因此，需要从位错密度等微观结构入手建立预测精度更高的基于动态回复的本构关系式。

3.3.2 基于动态回复的本构模型

硼钢板在高温阶段动态恢复时的变形可理解为硬化机制与软化机制的共同竞争，即位错累积与动态恢复作用的共同竞争。以22MnB5为对象，基于变形机理方面的描述，从位错密度等微观结构入手建立预测精度更高的基于动态回复的本构关系式 ^[16] 。

1）Kocks数学模型。在位错累积与动态恢复作用的共同竞争下，其共同作用结果可用加工硬化率（ θ ）表示，见式（3-7）：

式中， T 是温度； 是材料的应变速率。

在 T 和 为一定值的条件下， θ 是 σ 的函数。根据22MnB5的应力-应变曲线（图3-7）可获得其 θ - σ 关系曲线，如图3-12所示。

由图3-12可知，加工硬化率随着应力的增加而近乎直线下降，当 θ 接近于0时意味着流动应力达到稳态应力（σ _p ），不再继续增加。由于 θ 与 σ 几乎呈线性关系，可用Kocks模型 ^[21] 对其进行数值拟合，见式（3-8）：

式中， A 和 B 为材料参数，通过对图3-12中的曲线进行线性拟合即可获得。

对式（3-8）进行积分，并考虑到边界条件， ε =0时， σ = σ ₀ ，可得本构关系式（3-9）：

σ = σ _p -（ σ _p - σ ₀ ）exp（- Bε ） （3-9）

由于 σ _p 为稳态应力，即 θ =0时的应力，则 σ _p 可表达为式（3-10）：

σ _p = A/B （3-10）

σ ₀ 为初始屈服应力，可根据试验获得。根据王进等的研究 ^[22] ， σ ₀ 的数学模型可采用式（3-11）来描述：

式中， k ₁ 、 n ₁ 为材料常数； Z 为Zener-Hollomon参数，其物理意义是温度补偿的应变率因子，可表示为 和 T 的函数，见式（3-12）：

式中， Q 为形变激活能（kJ/mol）； G 为气体常数。由于材料热变形时的流变应力对应变速率及温度的依赖性可以由双曲正弦函数反映 ^[23] ， σ _p 又可由Arrhenius方程确定，见式（3-13）：

式中， ψ 、 n ₂ 、 α 是材料常数。

2）Zener-Hollomon参数的确定。根据式（3-12）和式（3-13），可获得式（3-14）：

由于式（3-14）中有4个未知量，即 ψ 、 n ₂ 、 α 和 Q ，所以不能直接用线性回归来确定这4个未知量的值。先给定 α 的值，通过对试验数据拟合来确定 ψ 、 n ₂ 、 Q 的值和误差值，将误差的平方和作为 α 的函数，通过确定函数的最小值来确定 α =0.002 ^[24] 。 α 的值确定后即可计算 ψ 、 n ₂ 和 Q 的值。

对式（3-14）求自然对数可得式（3-15）：

由式（3-15）可得当温度（ T ）恒定时，有式（3-16）：

而当应变速率（ ε ·）恒定时，可获得式（3-17）：

根据式（3-16）和式（3-17），做出不同变形温度下∂ln[sinh（ ασ _p ）]-ln ε ·和不同应变速率下∂ln[sinh（ ασ _p ）]-1 /T 的关系图，如图3-13及图3-14所示。对图3-13及图3-14中的曲线进行线性拟合可得 n ₂ =6.1798、 Q =208.787kJ/mol、 ψ =8.3037×10 ¹¹ 。

至此，22MnB5钢板基于动态回复的高温本构关系式即式（3-9）中所有未知参数均已确定，见式（3-18）。根据式（3-18）本构关系式预测的应力-应变曲线与试验曲线比较如图3-15所示，预测精度较高，且更加具有物理意义。

式中， A 、 B 、 k ₁ 、 n ₁ 为材料常数，根据试验数据拟合得来； Z = ψ [sinh（ αA/B ）] ^{n 2} ；其中， ψ =8.3037×10 ¹¹ ， α =0.002， n ₂ =6.1798。 ILE/IWB6jhUgIbEnDY5zKM1/pZVgEGDC4JQXB9rnxgRhGYSEy61nAvKFJMUYTKqK