第五题

QUESTION 5

先看第一问，我们先把图作好。由于图里有一个等腰直角三角形 ABD ，观察一下，似乎△ DEF 也是等腰直角三角形。

假如它是等腰直角三角形，那么 DE = DF ， AD = BD ，似乎△ BDF ≌△ ADE 。而如果这两个三角形确实全等的话，那么 BF = AE = GE ，从而△ AEF 也是等腰直角三角形，这样就证明了 AF ⊥ DF 。

那么，△ BDF ≌△ ADE 是否成立呢？其中 BD = AD ，∠ FBD =90°−∠ C =∠ EAD ，∠ FDB =90°−∠ ADF =∠ EDA ，因此△ BDF ≌△ ADE ，从而 DF = DE 且 BF = AE 。这就证明了△ DEF 和△ AEF 都是等腰直角三角形，从而 AF ⊥ DF 。

基于可靠的图做出大胆的猜测，常常是几何证明的一大途径。

其实，除了利用全等三角形，我们还可以利用四点共圆来证明△ DEF 为等腰直角三角形。由于∠ AEB =∠ ADB =90°，因此 A 、 B 、 D 、 E 在以 AB 的中点为圆心， AB 为直径的圆上。从而∠ BED =∠ BAD =45°，因此△ DEF 为等腰直角三角形。

下面再看第二问，要写出 AF 和 DG 的关系并证明。首先，得给出 AF 和 DG 的关系。精确地作好图，然后量一下 AF 和 DG 的长度，发现大致满足 AF =2 DG 。如果还不敢确定，那可以通过移动 C 点多作几张不同的图来，从而基本可以做出肯定的回答，即 AF =2 DG 。

为了证明 AF =2 DG ，本书提供了4种途径。

一种是取 AF 的中点 K ，然后证明 AK 或 FK 等于 DG 即可。

根据第一问的证明过程，我们知道△ AED ≌△ BFD ，因此 DE = DF 。而 KE 为直角三角形 AFE 的中线，因此 KE = KF ，从而△ EDK ≌△ FDK ，所以∠ KDE = KDF =45°=∠ GED =∠ GFD ，据此可得 KD ⊥ BE ，不妨设垂足为 H 。如果 AF =2 GD 成立，那么有 AK = KF = KE = GD 。我们大致可以观察出几组全等三角形，如：△ AKD ≌△ DGB ，△ KFD ≌△ KED ≌△ GDE 。但是想要证明三角形全等时，却总是发现缺一个条件，比如想要证明△ AKD ≌△ DGB ，我们有 AD = DB ，∠ ADK =90°−∠ BDK ，由于 DK ⊥ BE ，因此∠ DBG =90°−∠ BDK ，从而∠ ADK =∠ DBG ，但剩下的一个角度相等却难以证明。究其原因，在于并没有利用 G 点是 BE 中点的这一条件。而如果考虑△ KFH 和△ GDH ，则由于两者均为直角三角形，且 HF = HD ，因此只要证明 KH = GH 就能证明这2个三角形全等。这时， G 为 BE 的中点就有用了。由于 KH 为△ FAE 的中位线，且 BF = AE ，因此 。由此可知△ KF - H ≌△ GDH ，因此 。

除了直接取 AF 的中点，还可以利用三角形的中位线。比如，在△ ABF 中分别取 BA 和 BF 的中点 M 、 N ，连接 MN ，则 ，只要证明 MN = DG 即可。此时，连接 NG ，则 NG 为△ ABE 的中位线，这样就把 G 为 BE 中点这个条件利用起来了。作 DH 垂直于 EF 于 H ，则 H 为 EF 的中点。由于 AE = BF ，因此 。由于∠ NGM =∠ GHD =90°，如果我们能证明 MG = HD ，则△ MNG ≌△ DGH ，就能得出 MN = DG 。 MG 是不是等于 HD 呢？我们类似地做一个简单的推理： 。这就完成了我们的证明。

除了在△ ABF 中用中位线作出 来，我们也可以在△ AEF 中作中位线 MH ，从而 ，下面我们要证明 MH = GD 。连接 HD ，由于△ DEF 为等腰直角三角形，因此 DH ⊥ EF 且 DH = HE 。显然，我们只要证明2个直角三角形 DHG 和 HEM 全等即可。为此，只需证明 GH = ME 。由于 AE = BF ，我们可以进行以下计算：

而 HD = EH ，∠ GHD =∠ MEH =90°，因此△ DHG ≌△ HEM ，从而 DG = HM = 。

除了前面3种方法，为了证明 AF =2 DG ，我们还可以作出2 DG ，然后证明 AF 与这作出的2 DG 相等。由于 G 为 BE 的中点，因此我们可以延长 DG 至 K 使得 DG = GK ，这样既作出了2 DG ，又自然把 BG = GE 的条件给用上了。连接 KB 、 KE ，则 BDEK 是平行四边形。下面就是要证明 AF = DK 。

由于 AD = DB ，并且根据第一问，我们知道△ BFD ≌△ AED ，因此 DF = DE = BK ，如果 AF = DK 的话，那应该有△ ADF ≌△ DBK 。既然这2个三角形已经有2条对应边分别相等，我们只要再证明∠ ADF =∠ DBK 即可。∠ ADF =90°−∠ ADE =∠ CDE =∠ DBK ，从而△ ADF ≌△ DBK ，因此 AF = DK =2 GD 。

通过上面的分析可以看到，解题的关键是要想清楚题目的每个条件该怎么用，怎样才能把题目看似分散的条件联系起来。只要大方向正确，条条大路通罗马。平时解题的时候，一定不要满足于一种解法，而是要多想一点，尽量做到一题多解。 jUot64y3jIv1+yUp6/wRwrzTIUTvIQ+clOSsOnY/xHZu4H+6mxXKO3M4oL+dst8U