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已知等边三角形 ABC 和等腰三角形 CDE ， CD = DE ，∠ CDE =120°。
（1）如图1所示，点 D 在 BC 上，点 E 在 AB 上， P 是 BE 的中点，连接 AD 、 PD ，则线段 AD 与 PD 之间的数量关系为______；
图1
（2）如图2所示，点 D 在△ ABC 内部，点 E 在△ ABC 外部， P 是 BE 的中点，连接 AD 、 PD ，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。
图2
第一问属于送分题。因为∠ B =∠ BDE =60°，所以△ BDE 为等边三角形。因为 P 为 BE 的中点，所以 DP ⊥ AB ，又因为 CD = DE = DB ，所以 D 为 BC 的中点。因此 AD ⊥ BC ，故 AD =2 PD 。
下面看第二问。由于第一问是通过证明△ APD 为一个角为30°的直角三角形来证明 AD =2 PD 的，我的第一个想法就是连接 AP ，希望以同样的方式来证明△ APD 是直角三角形，且∠ PAD =30°。但是，仅仅作这条辅助线，不能有效利用 P 为 BE 中点和△ EDC 是顶角为120°的等腰三角形这两个条件。
由于图中有等边三角形，为了有效率利用∠ EDC =120°这个条件，一个自然的想法是再构造一个等边三角形。比如，我们可以延长 CD 至 K ，使得 DK = CD 。由于 DE = DC = DK ，从而△ KED 为等边三角形，且∠ KEC =90°，∠ ECK =30°。这样作辅助线确实把△ ECD 是顶角为120°的等腰三角形这一条件利用起来了，但 P 为 BE 的中点这一条件还是难以被有效利用。
除了延长 CD ，我们对称地还可以延长 ED 至 K ，使得 DK = ED 。这个时候，我们发现 P 为 BE 的中点， D 为 EK 的中点，如果连接 BK ，那就能有效地把 P 为 BE 的中点这个条件也利用起来。这样的辅助线符合我之前讲的一条原则：辅助线应该把题目中分散的条件最大程度地联系起来。
由于 PD 为△ EBK 的中位线，因此 BK =2 PD ，剩下的只需证明 BK = AD 即可。显见，△ CBK 是△ CAD 绕 C 点逆时针旋转60°所得（或者证明△ CBK ≌△ CAD ），因此 BK = AD 。
上面的解法是先考虑利用△ EDC 是顶角为120°的等腰三角形这个条件，那我们能不能先考虑 P 为 BE 的中点这个条件呢？考虑到我们希望证明的结论是 AD =2 PD ，因此可以先延长 DP 至 K ，使得 PK = DP ，这样就把2 PD 给作出来了。此时，连接 KE 、 KB 、 BD ，则四边形 BDEK 为平行四边形，从而有 BK = DE = CD 。
假如△ APD 仍然是和第一问一样是∠ PAD =30°的直角三角形，那么△ AKD 应该是等边三角形。为了证明△ AKD 为等边三角形，我们只需要证明 AK = AD 且∠ KAD =60°即可。由于 AB = AC ， BK = CD ，如果 AK = AD ，则△ ABK ≌△ ACD 。为此，只需证明∠ ABK =∠ ACD 。注意到 AC 和 AB 的夹角为60°（ AC 绕 A 点顺时针旋转60°后与 AB 重合）， CD 和 ED 的夹角为60°（ CD 绕 D 点顺时针旋转60°后与 ED 重合），而 KB // ED ，从而∠ ABK =∠ ACD ，所以△ ABK ≌△ ACD 。因此，可以把△ ABK 看成将△ ACD 绕 A 点顺时针旋转60°所得（实际上，我先观察出了这一事实，然后才给出前面基于旋转的∠ ABK =∠ ACD 的证明方法）。这就证明了△ AKD 为等边三角形，从而 AD =2 PD 。
一道几何问题里面会有不少的条件，我们需要去思考如何把这些条件有效利用起来。某些条件可能比较容易利用，这时可以先尝试着用起来，然后看看其他条件是否能一并用上，如果不能，那可以转换角度和次序再试试。解题就是一个不断尝试和调整的过程。此外，有些平面几何题会包含几个问题，前后的问题之间会有关联。此时，可以循着第一问的方向去思考后面问题的解答，往往前面问题的解答对解答后面问题有一定的启示。