第二题

QUESTION 2

如果是一个平行四边形或任何一个中心对称的图形，那这个问题的答案显然是肯定的： P 直接取这个中心点即可。

可三角形不是中心对称图形，这样的点到底存不存在呢？有些人不习惯做这样的开放性问题，主要还是缺乏一点儿探索精神和方法。

题目既然说任意一条直线都可以将△ ABC 的面积等分，那我们何不来画几条特殊的直线呢？比如，经过三角形某个顶点的直线。

如下图所示，如果经过 AP 的直线等分△ ABC 的面积，即 S _{△ ABD} = S _{△ ACD} ，则 BD = CD ，即 P 应在中线 AD 上。

同样的道理， P 也应该在 AC 边上的中线 BE 和 AB 边上的中线 CF 上。因此，如果存在这样的点，那 P 点只能为△ ABC 的重心。

现在已经把唯一可能满足题目要求的点找出来了，下面自然就是试图去证明 P 点满足要求了。

我们经过 P 点作任意一条直线分别交 AB 、 BC 于 M 、 N ，试图去证明 MN 等分△ ABC 的面积。由于 S _{△ APF} = S _{△ BPF} = S _{△ BPD} = S _{△ CPD} = S _{△ CPE} = S _{△ APE} ，因此我们需要证明 S _{△ APM} + S _{△ CPN} = S _{△ FPM} + S _{△ DPN} 。在这个图里， M 看上去像是 AF 的中点，如果我们就把 M 设为 AF 中点的话，那 S _{△ APM} = S _{△ FPM} ，但 DN 看上去显然不等于 NC ，这表明似乎 MN 并不等分△ ABC 的面积啊。

到这儿，结论来了个180°的转弯。这是值得庆幸的好事，避免我们在错误的道路上越走越远。想象一下，如果我们没有这个发现，那可能还会傻乎乎地继续去证明 MN 等分△ ABC 的面积这个并不正确的结论呢。

要证明一个结论正确往往不容易，但要证明一个结论错误，在逻辑上很简单，我们只要找出一个反例就可以了。 我们不妨用一种特殊的三角形——等边三角形来看一看。如果我们过 P 点作 MN 平行于 BC ，那么由于 AP =2 PD ，所以 ，显然没有等分△ ABC 的面积。因此，这样的点是不存在的。

对于任意三角形，如果我们过 P 点作 MN 平行于 BC ，上述结论也一样成立。

大家可以看到，在求解一个问题的时候判断出现错误是难免的，能及时发现错误至关重要。我的一个经验是：不要吝啬自己的笔头，多画几个图，利用一些特殊案例帮助我们做出正确的判断。 nuUK4QD9sIEEARc09VjKzg1tDL8CRwxXAZpAvNrgb6tDSQul53epw+L7FkKWI3Re