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等边三角形 ABC 中， AD 垂直于 BC ， M 、 N 分别是 AD 和 AC 上的两点，且 AM = CN ，请问，当 BM + BN 最小时，∠ MBN 是多少度？
首先，这是一道与动点有关的题目。很多人碰到动点问题就犯怵，这可以理解。相较于确定和不变的东西，人们总是对不确定的、变化的东西心怀恐惧。而题目所要考察的往往是在变化中寻找和发现相对不变性的能力，这对许多人而言是一项比较高的要求。
对于这类动点问题，一般可以先考虑几个特殊情况，从而对问题有个初步的把握，以消除内心的部分恐慌。
在本题中，当 AM = CN =0时， M 与 A 重合， N 与 C 重合， BM + BN = BA + BC ，此时 BM + BN 取得符合要求的所有情况里的最大值。
而如果 M 与 D 重合，则此时 BM 取得最小值，但 BN 并不取得最小值。反之，如果 N 为 AC 的中点，此时 BN 取得最小值，但 BM 并不是最小值。
我的第一个思考是利用对称性，比如把 BM 转换成下面的 CM ，但这样 CM 和 BN 离得更远了。显然，这样的辅助线没什么效果。
这里就涉及作辅助线的一个基本原则： 辅助线应该把题目中分散的条件最大程度地联系起来，最好是聚合起来，而不是让它们更分散。
怎么利用 AM = CN 这个条件？目前，这2条边在图中没什么直接关联，能不能让它们跑到一起，变成一个等腰三角形之类的？
基于这一想法，我想到了下面的旋转，即让△ BCN 绕 B 点逆时针旋转60°至△ BAP 的位置。此时可得： AP = CN = AM ，∠ PAB =∠ NCB =60°，因此∠ PAM =90°，从而△ PAM 为等腰直角三角形；同时，△ BPN 为等边三角形， BN = BP = PN ，因此 BM + BN = BM + BP 。
这种作辅助线的方法确实把许多条件聚合到了一起。但问题在于 P 点依旧为动点，仍然不能解决 BM + BN 什么时候最小的问题。
2次正面尝试，都遭遇了挫折。这时，我不得不停下来，尝试从结论来思考一下这个问题。
为了让 BN + BM 最小，一般而言，我们需要下面这样的模式。也就是找到一个 P 点，使得 PN = BM ，这样 BN + BM = BN + NP ，从而，当 B 、 N 、 P 为一条直线时 BN + BM 取得最小值。当然，这有一个前提，也就是 P 点必须为定点！
为此，我们不妨先把 BM 搬到 NP 的位置，来逆向思考一下到底要作什么辅助线。
此时，如果我们连接 PC ，我们发现 NP = MB ， NC = MA ，也就是△ NCP 和△ MAB 已经有两条边对应相等了。这一观察发现显然在引导我构造全等三角形。如果还有 PC = BA ，那么△ PCN ≌△ BAM ，此时应该有∠ PCN =∠ BAM =30°。
据此，我们就很容易得到下面的辅助线作法，即：作△ PCN ≌△ BAM 。由于∠ PCN =∠ BAM =30°，因此 PC ⊥ BC ，并且 PC = BA 为定长，这表明 P 点一定为定点。
从而， BM + BN = PN + BN 。显然，当 B 、 N 、 P 三点共线时 BM + BN 取最小值。此时，△ BCP 为等腰直角三角形，∠ NPC =∠ PBC =45°。
由于△ BAM ≌△ PCN ，因此∠ ABM =∠ CPN =45°。
从而，∠ MBN =45°+45°-60°=30°。
当然，上面的做法是把 BM 搬家，我们是否可以进一步思考一下：能不能把 BN 搬家呢？其实也行，我画了个示意图，大家可以自行体会。这种思考方式，蕴含着对称的思想。
所以你看，如果我直接把辅助线和答案写出来，那就少了点儿意思。你可能会觉得原来这么简单，也可能会惊呼：哇，昍爸你的灵感真好！但其实不然，我也是经过了挫折之后调整方向，才得到了正确的解法。而这个过程，涉及从条件出发和从结论出发两方面的推进。解题其实很多时候大都是这样，正着解题遇挫不妨反着再试试，两方面同时推进，最后胜利会师！