自序

许多人在听老师讲课或看数学教辅书时常常会感叹于一些数学题解法的简练和精妙。但感叹之余，总觉得缺少了点什么。是不是这样的问题时常会让你感到困惑。

我是不是笨？这样巧妙的解法我怎么想不到？

类似这样的问题，会让大家对数学产生畏惧，觉得漂亮的解法远在云端、遥不可及。解法越是精妙，越是让人拍案叫绝，有时反而越会拉大数学与大家的距离。

这就好比观看杂技或舞蹈演出，我们看到的是几分钟的精彩表演，看不到的是演员们为了这几分钟表演所经历的无数次挫败和所付出的辛勤汗水。

最早的时候，我在公众号写过两篇题为《抽丝剥茧：一道几何题的完整思考过程》和《动点问题不用怕？其实我怕得要命！》的文章，把几道平面几何题的完整思考过程（特别是看似神来之笔的辅助线背后的思考逻辑）一览无余地展现给了大家。文章的留言道出了不少人的心声，引起了大家的共鸣。

能把解题的思路和尝试都写出来，很难得，解题思路才是最重要的。很多时候看标准答案知道是怎么回事，但自己怎么都想不到解题思路，归根结底还是没有解决自己的思路到底卡在哪里的问题。

学数学从来就不是简单的事！许多老师习惯于表演解题的虚假“秒杀”，而不愿意展现思维的曲折坎坷，这对学生的培养是十分不利的！真实的学习比什么都重要！

“老师，我感觉你可能是第一个坦诚的人，绝大多数人习惯于向别人展示轻而易举、毫不费力的一面，只有你在我读书的时候就告诉我很多讲座你一开始也听不懂。再比如这种题，它确实是需要思考，而不是一秒就能想到解决方法的。”

“看了这篇文章顿时不焦虑了，连张老师都害怕动点，哈哈哈，幸福果然是比较出来的。”

走弯路是太正常了，所以我除了反对那些××模型流派，其实更反对在学生面前保持绝对正确的教学，没有任何探索的过程，让学生觉得老师就是“神”，一眼看出辅助线怎么做。而当有一天，有个老师去教学生探索的时候，学生以为是这老师教学水平不行。但其实呢，难度大的题目如果一眼就知道怎么做，那只有一种可能，就是提前看过答案。

如果从小就是以这样的思维教我，我也不至于一直自我怀疑，为什么别人和老师都能一下子就找到正确解法，而我却思考很久还不一定能想出来，还得怀疑自己思考对了没有。事实证明，老师也会存在和我类似的思维，甚至也用过“精确作图”法。原来我只是不知道大家背后的思考过程其实都和我差不多。

有一点体会，也是读硕士及博士之后才渐渐发现的，那就是要相信自己，并且要刨根问底！不要思考为什么其他同学好像都听明白了，而自己却依然有一大堆为什么。有了问题就要持续思考，实在想不明白就问。其他同学没问题一般有两种可能。一是他们真的彻底明白了，真的没有问题。二是他们根本不知道自己哪里有疑问，也不知道自己哪里没有彻底搞懂。现实生活中，我遇到第二种情况的概率远大于第一种情况（确实会有第一种情况存在，只不过是概率问题）。但是无论如何，刨根问底总不会错，请相信自己并持续思考。人总是要“笨”一点才好。

这些留言促使我再次思考起一个问题： 一名优秀的数学教师应该教给学生什么？

我高中时的数学老师张志朝是一名数学特级教师和优秀数学奥林匹克竞赛教练，他让我印象最深刻的是上课时常常会即兴讲解一道题，从头开始尝试，把整个解题的过程毫无保留地呈现给我们。这期间走弯路是常有的事，有时到一堂课结束还没有解完一道题。但正是这种抽丝剥茧的教学方法对我的影响很大，切切实实地提升了我解决难题的信心与能力。

作为对比，我听闻某些中小学培训一堂课要讲十几道题。这么快的节奏，显然只能是直接给孩子“灌输”正确的结果。更让人担忧的是，现在一些机构和所谓的教学名师，为大家总结出了五花八门的模型和套路，热衷于表演解题的“秒杀技”。应用这些模型和套路确实能秒解不少为之量身定做的数学问题，但如果条件稍微变化一下，比如变成形似而神不似的问题，这种生搬硬套的做法就会暴露出巨大的问题。更重要的是，它的后遗症会很严重。

在我看来，一名优秀的数学教师并不会一味追求教给学生更多知识，也不会单纯教给学生最巧妙的解法，而是会给学生完整地展现整个思考过程，特别是自己从错误到正确的曲折思考过程。只有如此，才会让学生觉得原来这些优美的解法（尤其是平面几何中看似神来之笔的辅助线）并非是一蹴而就和遥不可及的，而是自己通过努力也可以触摸到的。久而久之，学生碰到没见过的难题才不会害怕。

题是做不完的，唯有背后的思维方法是解决一切问题的根本，能伴随人的一生。正如一句名言所说：“当一个人把在学校里学到的知识忘掉，剩下的就是教育。”知识是精神和思维的载体，教育不能只关注载体，而忽视了本质。解题时展示标准答案背后苦苦求索的过程才是难能可贵的。

自从中学毕业后，我已经有20多年没接触过平面几何了，直到儿子上初中后偶尔问我几道题，我才又“捡”起平面几何。现在再回看这些几何问题，大部分第一眼看完没有直接的思路。不过，得益于从小没有在机械的套路中长大，解决问题都是以自我探索为主，所以碰到瞪了几眼还不会的问题时，我并不会慌乱。

对我而言，现在每做一道题都相当于走一次迷宫。我跟常年工作于一线教学的中学数学老师宋书华聊起这个话题。我说自己现在面对每道题一开始都没有思路，因为好多定理、公式和辅助线套路都忘光了，虽然会走不少弯路，花不少时间，但依靠教育在我身上留下的东西，最后基本也能解出题目。

每一次柳暗花明后，我都有一种酣畅的感觉。在解题过程中走的某些弯路，可能在一些一线教师看来缺乏技巧。但恰恰因为一线老师题目做多了，很容易把题一眼看穿，反而不太能对学生解这些题时所遭遇的曲折感同身受，也难以体会学生在黑暗中看到光明那一瞬间的狂喜。

宋老师坦言确实如此，他觉得类似我目前这样的状态才最符合学生的思维特点。

正是在这样的背景下，我萌生了写这样一本平面几何解题书的想法，希望能把自己最原始的想法从头至尾都展示给读者，让大家不再害怕平面几何问题。特别是，解平面几何题不应只依赖于灵感和神来之笔，其背后应有一整套接地气的方法与逻辑。本书在解题中所用的思维与方法，不是平面几何所特有的，而是理工科解决未知问题的共性范式：观察、发现、猜想、论证。当然，整个过程不可能一帆风顺，而是伴随着错误和反思的螺旋式上升的过程。

本书不以题目的数量和知识点的覆盖面取胜，但为了不脱离一线教学，我邀请了前文提及的张志朝老师和宋书华老师一起来写这本书。两位老师的理念与我高度一致，教学经验以及对平面几何整体性和专业性的把握却要胜过我许多。相比较而言，我更多是站在一名学生的角度去探索和求解问题，而两位老师则更多是从教师的角度去启发和引导学生思考，希望这两种不同风格的讲解也能如解题中的综合法与分析法一样胜利会师，最终为读者完成一幅解题的完整拼图。

昍爸
2023年3月