2.3 常见退化模型

性能退化理论近年来在长寿命、高可靠产品寿命预测中占据了主导地位。研究表明，70%～80%的产品失效是性能退化导致的。对于退化失效型产品，其寿命可定义为从出厂到性能参数首次到达失效阈值的时间，剩余寿命可定义为当前时刻至性能参数首次到达失效阈值的时间。性能退化理论起源于20世纪70年代，20世纪80年代末以Lu、Meeker、Nelson等为代表的国际可靠性专家将性能退化理论引入可靠性评估领域，2000年左右我国学者逐步开始研究该理论。

传统寿命预测方法主要基于寿命数据（也称失效数据），其过程如图2.4所示。首先，利用可靠性寿命试验获取一定量的失效数据；其次，选择合适的随机分布对失效数据样本进行拟合，估计分布模型参数；最后，利用随机分布推导出寿命的概率密度函数、累积分布函数、可靠度函数、失效率函数等，并计算寿命期望值、分位点值、置信区间等统计特征量。需要说明的是，该方法对失效数据样本有一定要求，在小样本或极小样本下较难开展，评估的可信度不高，对样本变化较为敏感。

基于性能退化的寿命预测方法主要依托产品退化数据，其过程如图2.5所示。首先，结合失效机理确定表征产品健康状态的性能参数，利用可靠性退化试验获取一定量的性能参数监测值，也称退化数据；其次，选择合适的退化模型描述性能参数随时间变化的规律，估计退化模型参数；最后，利用退化模型和失效阈值，获取产品寿命累积分布函数、概率密度函数、可靠度函数、失效率函数等，并计算寿命期望值、分位点值、置信区间等统计特征量。相比传统基于失效数据的寿命预测方法，其主要优势是对试验产品样本数量要求低，试验时间短，允许试验中出现少失效、零失效情况。

需要说明的是，在性能退化理论下，产品失效时间的定义仍存在不同形式。以产品性能参数具有上升趋势的退化过程为例，给定失效阈值 ω ，其失效时间 T 常见定义有以下两种。

定义1： T =inf{ t ： X （ t ）≤ ω }。

定义2： T ={ t ： X （ t ）≤ ω }。

两种定义下的失效时间如图2.6所示。显然，对于单调退化过程，两种失效时间定义对应的寿命随机变量完全相同；对于非单调退化过程，定义1中的 T 又称首达时（First Passage/Hitting Time，FPT/FHT），是指性能参数首次到达失效阈值的时间（ T ₁ ），而定义2中的 T 是性能参数到达失效阈值的平均时间（ T ₁ 、 T ₂ 、 T ₃ …对应的平均意义上的随机变量）。显然，相比之下首达时是一种更为保守的失效时间定义。

2.3.1 退化轨道模型

退化轨道模型，也称通用退化轨道模型或退化轨迹模型，其基于两点假设：①不同样本的退化数据均服从某种形式的函数族；②不同样本个体差异通过退化模型参数的不同来进行刻画。退化轨道模型常采用的函数形式有线性模型、指数模型、幂律模型、Lloyd-Lipow模型、对数线性模型、多项式模型等，如表2.1所示。

工程上，对于非线性退化数据，一般有两种处理方法。一是选择非线性形式的函数作为其退化轨道函数，二是将原始退化数据做线性化处理，如求对数。

在退化轨道模型基础上，有三种常见寿命分布估计方法，分别是伪寿命法、解析法和仿真法。

1．伪寿命法

对于长寿命产品，很难直接在试验中观察到足够多的失效数据，而退化数据中包含了大量可以反映产品失效时间的有效信息。其思路是利用性能参数与时间的关系曲线建立退化轨道模型，进而外推出不同样本性能参数到达失效阈值的时间，即外推寿命。由于这些外推寿命并非产品的实际失效时间，故称之为伪寿命。得到不同样本的伪寿命之后，即可将其视作真实失效数据，借助统计分析方法找到合适的寿命分布，进而对产品进行可靠性评估。基于伪寿命的寿命分布估计方法步骤如下。

首先，收集各样本退化数据，确定关键性能参数，依据退化曲线趋势，选择适当的退化轨道模型，并通过回归分析、非线性最小二乘法等方法得到模型参数估计值。

其次，结合产品工作原理，确定关键性能参数对应的失效阈值，根据退化轨道模型，外推出各样本的伪寿命。

再次，将伪寿命作为真实失效数据，选择合适的寿命分布进行拟合。

最后，根据寿命分布计算寿命的统计特征量，或推导可靠度函数。

上述过程如图2.7所示。

2．解析法

首先，选择合适的退化轨道模型，分别对不同样本的退化数据进行拟合，得到各样本退化轨道模型参数估计值。

其次，假设各样本退化轨道模型参数服从某种形式的联合随机分布，估计出分布参数。

最后，结合退化轨道模型及模型参数分布，经解析推导得到产品寿命分布，进而计算寿命的统计特征量，或推导可靠度函数。

上述过程如图2.8所示。

3．仿真法

仿真法前面过程与解析法相似，首先确定退化轨道函数，得到各样本模型参数分布；然后，根据模型参数分布，生成大量随机样本，并代入退化轨道模型模拟出大量退化曲线；最后，利用式（2.8）获得失效时间累积分布近似估计值。

式中， N 为随机样本量， n （ t ）为截至 t 时刻样本中发生失效的数量。

2.3.2 退化量分布模型

退化量分布模型考虑了退化过程本身的随机性。该模型假设：

（1）任意时刻 t ，产品性能参数服从同一分布族，如 G （ x ； ₁ θ （ t ）， θ ₂ （ t ），…， θ _r （ t ））；

（2）对于不同样本，分布族参数 θ ₁ （ t ）， θ ₂ （ t ），…， θ _r （ t ）为关于时间 t 的函数。

上述假设下的退化量分布模型如图2.9所示。

基于退化量分布模型的寿命预测思路如下。

首先，使用合适的随机分布去拟合给定时刻 t 各样本退化数据，并计算其统计量，如样本均值、样本方差、 k 阶矩等。

其次，根据上述统计量，或利用极大似然估计等方法得到参数 θ _i （ t ）的估计值。

再次，根据不同时刻的参数估计值 θ _i （ t ₁ ）， θ _i （ t ₂ ），…，找到合适的函数对其进行拟合，建立 _i θ （·）与时间 t 的关系模型。

最后，推导得到任意时刻 t 性能参数的随机分布，并基于此开展寿命分布估计或可靠性评估。

2.3.3 失效物理模型

失效物理模型是指通过分析导致产品失效的内在物理、化学、电化学机理，以及产品失效与使用条件、环境应力等外部因素之间的联系，进而建立起来的退化模型。常见的失效物理模型有Paris累积损伤模型、反映论模型、随机斜率-截距模型等。失效物理模型对建模者领域知识要求较高，属于一类可信度较高的退化模型。

累积损伤模型假设产品损伤量随工作或存储时间不断累积，并体现在可观测的性能参数变化上。通常，根据损伤机理，还可以将上述变化过程与工作环境关联起来。例如，1993年Lu和Meeker建立了著名的Pairs累积损伤模型，用来描述轴承金属裂纹随循环次数增加而不断扩展的过程，即

式中， α 为裂纹宽度， C >0和 m >0，且其值由产品材料特性决定。

1994年，Chun Kin Chan使用一种幂律模型描述薄膜电阻阻值 R 随时间的增长过程，其形式为

式中，时间常数 τ 与温度 T 有关，且假设服从Arrhenius加速模型。

2.3.4 随机过程模型

产品在工作过程中，受内外部随机因素影响，其性能参数随时间变化可视作某种形式的随机过程，如Wiener过程、Gamma过程、逆高斯过程、高斯-泊松过程等，其中尤以前两种较为常见。

1．Wiener过程

Wiener过程是一类广泛使用的独立增量过程。在数学中，Wiener过程是一种连续时间随机过程，得名于控制论创始人诺伯特·维纳。由于Wiener过程与物理学中的布朗运动有密切关系，因此也被称为“布朗运动过程”。Wiener过程是莱维过程（指左极限右连续的平稳独立增量随机过程）中最有名的一类，在应用数学、经济学、物理学等学科中都得到了广泛应用。

基于Wiener过程的退化模型通常具有如下形式：

式中， g （ t ）为关于时间的函数，反映性能参数的平均退化轨迹； σ 称为扩散系数； B （ t ）为标准布朗运动，满足如下性质：

（1） B （0）=0， B （ t ） ∈ （-∞，+∞）；

（2） B （ t +Δ t ） -B （ t ）～ N （0，Δ t ）；

（3） B （ t ）～ N （0， t ）.

一类最常见的Wiener过程是线性漂移Wiener过程，即 g （ t ）= μt ， μ 也称为漂移系数。对于线性漂移Wiener过程，给定失效阈值，其首达时服从逆高斯分布，具有解析表达形式。

2．Gamma过程

Gamma过程也称伽马过程，是一类严格单调的随机过程，如图2.10所示。其假设任意两时刻间的独立增量服从Gamma分布，由于服从Gamma分布的随机变量非负，因此可确保其具有单调非减性质。

Gamma分布概率密度函数如下：

服从Gamma分布的随机变量期望和方差分别为

E （ X ）= α / β

Var（ X ）= α / β ²

当参数 α = β =1时，Gamma分布退化为指数分布，如图2.11所示。