第四节
克莱姆法则

一、 n 元线性方程组的克莱姆法则

前面讨论了二元线性方程组

在系数行列式 D ≠0时，方程组有唯一解，即

这个结论称为二元一次方程组克莱姆（Cramer）法则。

一般地， n 元线性方程组有如下的克莱姆（Cramer）法则。

定理1-4（克莱姆法则） 设 n 个未知量 n 个方程的线性方程组为

若系数行列式为

则方程组有唯一解，即

其中， D _i （1，2，…， n ）是把系数行列式 D 的第 i 列元素用方程组等号右边的常数列 b ₁ ， b ₂ ，…， b _n 代替所得的 n 阶行列式。

证明　设方程组有解 x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ，则

由 D ≠0，得到 。

同理， 。

故方程组有解，则其解必为

另外，不难验证 x ₁ ， x ₂ ，…， x _n 的确是方程组的解。

故 是方程组的唯一解，得证。

定理1-5 方程个数与未知数个数相等的线性方程组有且只有唯一解的充要条件是系数行列式 D ≠0。

例1-11 求解线性方程组。

解　计算系数行列式，得到

根据克莱姆法则，方程组有唯一解。而

故方程组的解为

二、齐次线性方程组及其解的讨论

定义1-12 若线性方程组等号右边的常数项均为零，则称为齐次线性方程组，即

显然，齐次线性方程组一定有解，即 x _i =0（ i =1，…， n ）是齐次线性方程组1-5的解，称为齐次线性方程组的零解或当然解。

定理1-6 方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组只有零解的充要条件是系数行列式 D ≠0。

推论 方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式 D =0。

例1-12 问λ取何值时，齐次线性方程组 有非零解？

解　系数行列式为

令 D =0，得当 λ =-2或 λ =1时，该齐次线性方程组有非零解。

练习

1.利用克莱姆法则解下列线性方程组。

2.λ、μ取何值时，齐次线性方程组 有非零解？

3. k 取何值时，齐次线性方程组 只有零解？ RWBaOOVsiEZ3RorMs3WWTq4mprSyFbPILRj+ih1Q39U8IFpeggLa8WomE6whxBIV