第三节
行列式的展开定理

行列式阶数越低，计算越容易，如果能找到行列式与比它低一阶的行列式之间的联系，将行列式化为更低阶的行列式，会使运算得以简化。

一、行列式按行（列）展开

以三阶行列式为例，探讨三阶行列式与二阶行列式之间的联系，得到

在式1-2中，二阶行列式为

即在原三阶行列式中划去元素 a ₁₁ 所在的行与列后，剩下的元素按原来的相对位置不变组成的低一阶的行列式。

定义1-10 在 n 阶行列式中，去掉 a _ij （ i ， j =1，2，…， n ）所在的行与列后，剩下的元素按原来的相对位置不变组成的 n -1阶行列式称为元素 a _ij 的余子式，记为 M _ij 。

如 a ₂₃ 的余子式为

定义1-11 在 n 阶行列式中，元素 a _ij 的余子式 M _ij 带上符号（-1） ^{i + j} 后得到的式子称为元素 a _ij 的代数余子式，记为 A _ij ，即

如，在上面的三阶行列式中，第一行元素的代数余子式为

式1-2可以写为三阶行列式的第一行所有元素与相应代数余子式乘积之和，称为三阶行列式按第一行展开，即

类似地，三阶行列式可以按第三行展开，即

三阶行列式可以按第二列展开，即

三阶行列式可以按任一行或任一列展开。

一般地，有如下的行列式展开定理。

定理1-3 n 阶行列式等于它的任一行（列）所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

推论 n 阶行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）对应的元素的代数余子式乘积之和等于零，即

证明　设将行列式中第 j 行的元素换为第 i 行（ i ≠ j ）的对应元素，得到有两行相同的行列式 D ′，由行列式的性质1-3之推论知 D ′=0，再将 D ′按第 j 行展开，则

即证式1-3。同理可证式1-4。

二、用展开定理计算行列式

用展开定理计算行列式值的基本思路：先利用行列式性质把行列式某行（列）变得只有很少非零元（最好只有1个），再利用展开定理按该行（列）展开，将其化为低一阶的行列式。如此进行下去，最后化为二阶行列式，即可求出行列式的值。

例1-7 用展开定理计算行列式 的值。

三、特殊行列式的计算

在行列式中，有些行列式比较特殊，需要用特殊的方法计算。

例1-8 计算行列式 的值。

这个行列式的特点是元素 a _ij 与元素 a _ji 互为相反数，即 a _ij =- a _ji ，而且阶数为奇数。具有这种特点的行列式称为奇数阶反对称行列式。

解　记行列式为 D ，由行列式的性质得到

故2 D =0，得到 D =0。

由此，可得任一奇数阶反对称行列式的值都为0。

例1-9 计算 n 阶行列式的值。

解　利用行列式性质，得到

例1-10 计算 n 阶行列式的值。

解　利用行列式性质，得到

练习

1.按行列式展开定理的方法计算下列行列式的值。

2.计算下列行列式的值。 r3UBbXZl1RdAZNzOICeiVkko6DkbSaHW2E+Y5Tsjl0gLM7GGM0npXEJGt1Ueg0mD