第二节
行列式的性质

行列式的定义给出了行列式的运算规则，但当阶数 n 较大时，如果直接应用定义来计算行列式的值，则项数多、运算量大。因此，有必要介绍一些有关行列式的性质，在计算行列式时应用其性质简化计算过程。由于行列式的性质对任何阶数的行列式都成立，下面主要以三阶行列式为例， n 阶行列式同样适用。

一、行列式的性质

定义1-9 把行列式 D 的所有行变为相应的列，而得到的新行列式称为 D 的转置行列式，记为 D ^T 。

显然，把行列式 D 的所有列变为相应行，或者把行列式 D 的所有元素沿主对角线翻转也可得到 D 的转置行列式。

性质1-1 行列式与其转置行列式的值相等，即 D = D ^T 。

三阶行列式性质，只需等号左右两边用对角线法则计算即可验证，这里不再一一证明。

性质1-1表明行列式中行与列地位平等，对于行成立的性质对于列也成立，反之亦然。

性质1-2 把行列式的两行（列）互换，行列式的值变号。

推论 如果行列式的某两行（列）的元素对应相等，则行列式的值为零。

证明　设 D 某两行（列）的元素对应相等。把元素对应相等的两行（列）互换位置，得到的新行列式仍是原来的行列式，但根据性质1-2，新行列式的值为原行列式的相反数，因此 D =- D ， D =0得证。

性质1-3 行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数 k ，相当于用 k 乘以此行列式，即

推论1 如果行列式的某一行（列）中所有元素有公因子，则可将公因子提到行列式符号的外面相乘。

推论2 如果行列式中有某一行（列）的元素全为0，则行列式的值为零。

推论3 如果行列式中有两行（列）元素对应成比例，则行列式的值为零。

性质1-4 如果行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式可表示成两个行列式之和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他行（列）的元素与原行列式相同，即

性质1-5 把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数 k 后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变，即

二、利用行列式的性质计算行列式

计算行列式时应考虑用行列式的性质将其转换为便于计算的行列式，从而求得行列式的值。为了使计算过程简洁明了，以及便于检验每一步的正确性，约定如下记号： r _i ↔ r _j （ c _i ↔ c _j ）表示交换第 i 行（列）与第 j 行（列）； kr _i （ kc _i ）表示用数 k 去乘以第 i 行（列）的所有元素； r _i + kr _j （ c _i + kc _j ）表示第 j 行（列）的所有元素都乘以数 k 后加到第 i 行（列）对应位置的元素上。

例1-5 应用行列式的性质与推论，计算下列行列式的值。

任何 n 阶行列式总能经过有限次行变换（或列变换）化为上三角行列式。而上三角形行列式的值为对角线上元素的乘积。因此，对于多于三阶的行列式的计算，可利用行列式的性质，把其化为上三角形行列式，从而计算行列式的值。这是计算高阶行列式的一种典型方法。

例1-6 把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值。

练习

1.下列计算过程中哪些步骤是对的？哪些步骤是不对的？怎么改正？

2.应用行列式的性质计算下列行列式的值。

3.把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值。

4.应用行列式性质证明。 vfFaCZqC14mHYonly1zeo8AxNObriuSjf+EIkrUmIvS/jZEVfjtKDqKPbKkgd77f