第一节
行列式的定义

一、二阶行列式

行列式是求解线性方程组的工具，以下从二元线性方程组及其公式解中引出二阶行列式的定义。

引例 求解一般的二元线性方程组，即

解　用加减消元法，在 a ₁₁ a ₂₂ - a ₁₂ a ₂₁ ≠0时，得到二元线性方程组的公式解。

在方程的解 x ₁ 、 x ₂ 一般表达式中，分子、分母都是两个数相乘减去两个数相乘的结构。为方便书写，更为了寻找二元线性方程组的公式解的规律，引入记号和规定运算。

定义1-1

其中，横排称为行，竖排称为列。数 a _ij （ i ， j =1，2）表示第i行第j列的元素。因此，任一元素 a _ij 就可以通过其行序与列序唯一交叉确定，这便是行列式名称的由来。二阶行列式的值可以视为左上角与右下角（主对角线）乘积减去右上角与左下角（副对角线）乘积，称为对角线法则。

例1-1 利用对角线法则计算二阶行列式的值。

解　由二阶行列式的对角线法则，得到

根据二阶行列式的定义，在式1-1二元线性方程组的解中，分母为二元一次方程组的系数保持原位置构成的行列式，称为系数行列式，记为 D 。 x ₁ 的分子为系数行列式第一列换为方程组等号右边的常数列构成的行列式，记为 D ₁ 。 x ₂ 的分子为系数行列式第二列换为方程组等号右边的常数列构成的行列式，记为 D ₂ 。这三个行列式表示为

这样，在 D ≠0时，二元线性方程组有唯一解。

二、三阶行列式

与二阶行列式类似，三阶行列式也可以从三元线性方程组及其公式解中引出。

规定三阶行列式的记号：由3 ² =9个数排成三行三列的式子。三阶行列式的运算规则：每条实线上三个元素的乘积前加正号，每条虚线上三个元素的乘积前加负号，称为三阶行列式的对角线法则，如图1-1所示。

定义1-2 三阶行列式的记号和运算。

显然，三阶行列式的值为3！=6个项的代数和。

例1-2 计算行列式 的值。

解　利用对角线法则得到

三、排列

作为定义 n 阶行列式的准备，先给出一些有关排列的基本概念。

定义1-3 由自然码1，2，…， n 组成的一个有序数组 i ₁ i ₂ … i _n ，称为一个 n 级排列。

如，由1，2，3组成的三级排列共有3！=6个，即

同理， n 元排列一共有 n ！个。

定义1-4 在一个排列中任意找出两个数码，若大的数码排在小的数码的前（左）面，称这对数码构成一个逆序。

定义1-5 n 级排列中的逆序总数称为这个排列的逆序数。 n 级排列 i ₁ i ₂ … i _n 的逆序数记为 τ （ i ₁ i ₂ … i _n ）。

如，在排列312中，3与1构成一个逆序，3与2构成一个逆序，共有两个逆序，这个排列的逆序数为2，记为 τ （312）=2。逆序计算方法：在一个 n 级排列 i ₁ i ₂ … i _n 中，比 i _t （ t =1，2…， n ）小且排在它后面的数共有 t _i 个，则该排列的逆序数为

例1-3 计算排列的逆序数。

定义1-6 逆序数为偶数的 n 级排列称为偶排列，逆序数为奇数的 n 级排列称为奇排列。

如，由于 τ （312）=2，则312是偶排列， τ （51324）=5，则51324是奇排列。

定义1-7 将一个排列中两个位置上的数码互换而其余数码不动，则称对该排列做了一次对换。

定理1-1 每一次对换改变排列的奇偶性。

定理1-2 n 个数码（ n ＞1）共有 n ！个 n 级排列，其中奇、偶排列各占一半。

四、 n 阶行列式

有了排列的一些基础知识，就可以在分析三阶行列式表达式特点的基础上给出 n 阶行列式的定义。

由三阶行列式的运算结果可以看出，三阶行列式的值由6项（3！项）构成，每一项都是取自不同行不同列的3个元素的积。而三级排列共有6个，在书写时可以把每项元素的行标排成123自然排列。

列标 j ₁ j ₂ j ₃ 要取遍所有三级排列。这6项中一半的项带正号，一半的项带负号，项的符号与列标排列的奇偶有对应关系。显然123、231、312都为偶排列，321、213、132都为奇排列。当 j ₁ j ₂ j ₃ 为偶排列时前面带正号，相反带负号，故每项前所带符号可以表示为 。从而，三阶行列式可以表示为所有取自不同行不同列的三个元素的乘积 的代数和，即

其中，∑表示把所有项 加起来，而 j ₁ j ₂ j ₃ 要取遍所有三级排列。

二阶行列式亦有相同的结论， 。故由此得到 n 阶行列式的记号和运算。

定义1-8 n × n 个数排成 n 行 n 列，按如下方法计算其值的记号称为 n 阶行列式。

其中， j ₁ j ₂ j ₃ … j _n 取遍所有 n 级排列， a _ij 称为第 i 行第 j 列的元素。

n 阶行列式是所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 代数和，各项符号由列标 n 级排列 j ₁ j ₂ … j _n 的奇偶性决定，偶排列带正号，奇排列带负号。

n 阶行列式在 n ＞3时，不能使用对角线法则计算。

例1-4 计算行列式 的值。

解　此行列式中有很多元素为0，则通项 中就有很多项为0，只需找出所有元素都不为0的项加起来即可。

由于每项取自不同的行与不同的列，第一行只有选 a _{1 n} 才不为0，第二行只有选 a _{2， n -1} ，第三行只有选 a _{3， n -2} ，…，第 n 行只能选 a _{n 1} ，这样 n ！项中只有 a _{1 n} a _{2， n -1} … a _{n 1} 这一项不为0，故行列式值为

练习

1.计算下列行列式的值。

2.计算以下排列的逆序数，从而判断它们的奇偶性。

（1）4132

（2）35412

3.在六阶行列式中， a ₂₁ a ₅₃ a ₁₆ a ₄₂ a ₆₅ a ₃₄ 这一项应该带什么符号？

4.写出四阶行列式中含有因子 a ₁₁ a ₂₃ 的项。

5.已知 是关于 x 的一次多项式，求该式中 x 的系数。 2PkbhFen3BJc7Eag7nwcdxQore7Nt2yjV7WTawq6PGLgYnGBu+pJJIH1RKZskgRv