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对于行数列数较多、零元素较多或局部比较特殊的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，把大矩阵分割成小矩阵。在一定条件下，运算时可把这些小矩阵当作元素一样来处理。
定义2-15 将矩阵 A 用若干条贯穿矩阵的纵线和横线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。
例如，将3×4型矩阵
可以分成下面的小块形式，即
则 A 可以表示为分块矩阵
其中，
，
A
22
=（
a
34
）为子块。
对一个矩阵，可以根据其不同的特点或不同需要进行不同的划分，如上述矩阵 A 也可划分成
对矩阵进行分块的目的是分块后要能进行计算，并且比分块前更容易进行计算。
1.分块矩阵的转置 设矩阵 A 分块为
则 A 的转置阵等于各子块转置构成的分块阵的转置。
2.分块矩阵的加减法 分块矩阵 A 与 B 相加减，根据矩阵加减法的定义，要求 A 与 B 同型，并且采用相同的分块法即 A ij 与 B ij 同型。
那么， A 与 B 相加减，等于对应的子块分别相加减，即
3.分块矩阵的数乘 数 k 乘分块阵 A 等于这个数乘到每个子块上，即
4.分块矩阵的乘法
引例 设 A 是4×3型矩阵， B 是3×2型矩阵， A 的列数等于 B 的行数，按通常矩阵乘法 A 与 B 可以相乘。现将 A 和 B 进行分块，使 A 的3列分成2块，与 B 的行分块个数相同，并且 A 的每一个小块 A 11 、 A 12 的列数，分别等于 B 的相应小块 B 11 、 B 21 的行数，即 A 的列分法与 B 的行分法相同。
将各子块看成元素，然后按通常矩阵乘法把它们相乘，即
在上述分块方法下， A 11 B 11 、 A 12 B 21 和 A 21 B 11 、 A 22 B 21 都有意义的，且都是2×2型矩阵。因而， A 11 B 11 + A 12 B 21 、 A 21 B 11 + A 22 B 21 都有意义，且都是2×2型矩阵。
可以验证，像这样按分块相乘所得的结果与按通常意义相乘所得的结果是一致的。
一般地，设 A =（ a ij ） m × l ， B =（ b ij ） l × n ，对 A 、 B 进行分块，使 A 的列分块个数与 B 的行分块个数相同，并且 A 的每一个小块 A i 1 ， A i 2 ，…， A it 的列数，分别等于 B 的相应小块 B 1 j ， B 2 j ，…， B tj 的行数，即 A 的列分法与 B 的行分法相同。
这里矩阵右边的数 m 1 ， m 2 ，…， m s 和 l 1 ， l 2 ，…， l t 分别表示它们左边的子块矩阵的行数，而矩阵上边的数 l 1 ， l 2 ，…， l t 和 n 1 ， n 2 ，…， n r 分别表示它们下边的子块矩阵的列数，从而
把 A 、 B 中各小块矩阵看成元素，然后按通常矩阵乘法把它们相乘，就是
注：在上述的分块方法下，式2-10中的乘积 A ik B kj （ k =1，2，…， t ）都有意义，且都是 m i × n j 型矩阵，因而 C ij 也是 m i × n j 型矩阵。由式2-9， C 是 m × n 型矩阵。
例2-18 用分块乘法计算 AB ，其中
定义2-16 若 n 阶矩阵 A 的分块矩阵只有主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在主对角线上的子块都是方阵，即
则称 A 为分块对角矩阵，简记为 A =diag（ A 1 ， A 2 ，…， A s ）。如
就是一个分块对角矩阵，它有着与对角矩阵类似的性质。
k 是一个数，则有
若 B =diag（ B 1 ， B 2 ，…， B s ）是与 A 有相同分块的分块对角阵，即 A i 与 B i 同型，则有
此外，分块对角矩阵的行列式等于主对角线上各子块行列式的乘积，即
由此可知，
当且仅当
，即
A
i
（
i
=1，2，…，
s
）可逆当且仅当
A
可逆，且
例2-19
设
，求
A
-1
。
解 将 A 分块为对角阵，得到
对矩阵分块时有两种特殊的分块方法，就是按行分块和按列分块。
设 A 为 m × n 矩阵，每一行分为一小块，有 m 行，分别称为矩阵 A 的 m 个行向量。若第 i 行记作
则矩阵 A 记为
若 A 的每一列分为一小块，有 n 列，分别称为矩阵 A 的 n 个列向量。若第 j 列记作
则矩阵 A 记为
若矩阵 A =（ a ij ） m × s 按行分成 m 块，矩阵 B =（ b ij ） s × n 按列分成 n 块，则乘积矩阵 AB 为
由此，可进一步领会矩阵乘法运算。
练习
1.用分块乘法计算 AB ，其中
2.设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆，求：
3.分块求下列矩阵的逆阵。
