医用线性代数最新章节_林薇著

第二节
矩阵的运算

一、矩阵的加减法

例2-4 若例2-1中的临床试验一共进行两批，第一批临床试验数据如矩形数表2-1所示，记为矩阵 A ；第二批调查数据得到矩阵 B ，即

这两批数据合起来分析，能否用矩阵表示？

解　两批数据合起来，也就是把矩阵 A 、 B 对应元素相加，构成一个新矩阵 A + B ，即

定义2-2 设 A =（ a _ij ） _m _× _n 、 B =（ b _ij ） _m _× _n ，则它们对应元素之和构成的矩阵 C =（ a _ij + b _ij ） _m _× _n 称为矩阵 A 与 B 的和，记为 C = A + B ，即

两个矩阵相加是对应元素相加，且只有同型的两个矩阵才能相加。

定义2-3 矩阵的减法为 A - B =（ a _ij - b _ij ） _m _× _n ，即两个矩阵相减是对应元素相减，且只有同型的两个矩阵才可以相减。

二、数乘矩阵

定义2-4 数 k 乘矩阵 A _m _× _n =（ a _ij ） _m _× _n 每一个元素构成的矩阵，称为数 k 与矩阵 A 的积，简称为数乘矩阵，也说成是 A 的 k 倍，记作 k A 或 A k ，即

数乘矩阵是乘矩阵的每一个元素，数乘行列式是只乘行列式某一行（列）的元素。

特别地，（-1）· A =（- a _ij ） _m _× _n ，称为矩阵 A 的负矩阵，记为- A 。

矩阵的加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

设 A 、 B 、 C 、 O 均为 m × n 矩阵， λ 、 μ 为常数， n 为正整数，则矩阵的线性运算有以下规律。

特别地

零矩阵的特性：

例2-5 已知3 A +2 B = C ，其中，求 B 。

三、矩阵的乘法

引例已知从 x ₁ 、 x ₂ 、 x ₃ 到 y ₁ 、 y ₂ 的线性变换

从 z ₁ 、 z ₂ 到 x ₁ 、 x ₂ 、 x ₃ 的线性变换

求从 z ₁ 、 z ₂ 到 y ₁ 、 y ₂ 的线性变换。

解　把（2-3）的各式代入（2-2）的各式，得到

称线性变换（2-4）是线性变换（2-2）与（2-3）的乘积变换，称线性变换（2-4）对应的矩阵是线性变换（2-2）与（2-3）对应矩阵的乘积，即

等式的左边，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。等式的右边，乘积阵的第 i 行、第 j 列交叉处的元素，是左边第一个矩阵的第 i 行元素与第二个矩阵的第 j 列对应元素相乘再相加而得。

例2-6 某单位出现两名流行病患者，甲组3名工作人员中，第 j 名人员与第 i 名患者近期内接触情况用 a _ij 表示，有临床意义上的接触记为1，否则记为0，构成矩阵 A ，设为

乙组2名工作人员与患者虽无直接接触，但与甲组工作人员联系密切，接触情况构成矩阵 B ，设为

研究乙组人员通过甲组人员与患者间接接触的情况。

解　乙组人员1通过甲组人员与患者1间接接触1次，即

类似计算乙组人员1与患者2间接接触次数，乙组人员2与患者1、2间接接触次数，构成矩阵 C ，即

一般地，我们有矩阵乘法的定义。

定义2-5 设矩阵 A =（ a _ik ） _m _× _s 、 B =（ b _kj ） _s _× _n ，规定矩阵 A 与 B 的乘积 AB 是矩阵 C =（ c _ij ） _m _× _n ，其中， c _ij 等于 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列元素对应乘积之和，即

矩阵乘法必须满足的条件：只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。

例2-7 已知

但是， B _4×3 A _2×4 无意义。注： AB 有意义， BA 未必有意义。

由此可知，在矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序。通常把 AB 说成“ A 左乘 B ”或“ B 右乘 A ”。即使 AB 与 BA 都有意义，它们也未必同型。例如， A _2×3 B _3×2 是2×2型矩阵， B _3×2 A _2×3 是3×3型矩阵。此外，即使 AB 与 BA 都有意义且同型，这两个乘积也未必相等。

例2-8 求矩阵 AB 和 BA 。

解 AB 和 BA 符合矩阵乘法的条件，计算得到

由例2-8可以看出，矩阵乘法运算一般情况下不满足交换律，即 AB ≠ BA 。

定义2-6 若 AB = BA ，则称矩阵 A 与 B 可交换。

由例2-8还可以看出，矩阵 A ≠ O ， B ≠ O ，但却可能有 AB = O 。这就说明：两个矩阵 A 、 B 满足 AB = O ，得不出 A 、 B 至少有一个是零矩阵的结论。此外，矩阵乘法运算也不满足消去律，即若 AC = BC ， C ≠ O ，但不一定有 A = B 。

在运算可行时，矩阵乘法满足下列运算规律。

特别地，对于单位矩阵 E ，有

对于零矩阵 O ，有

对于对角阵 Λ =diag（ λ ₁ ， λ ₂ ，…， λ _n ）， M =diag（ μ ₁ ， μ ₂ ，…， μ _n ），有

例2-9 n 元线性方程组的矩阵形式。

解 n 元线性方程组

两边分别表示为矩阵，即

左边矩阵可以表示为矩阵乘法，即

这三个矩阵分别称为系数矩阵 A _m _× _n 、变量列矩阵 X _n _×1 和常数列矩阵 b _m _×1 ，则 n 元线性方程组（2-5）的矩阵方程形式可以简写为

例2-10 线性变换的矩阵形式。

记。从而线性变换（2-6）的矩阵形式可记为

因此，引例中从 x ₁ ， x ₂ ， x ₃ 到 y ₁ ， y ₂ 的线性变换（2-2）矩阵形式为 Y = AX ，从 z ₁ ， z ₂ 到 x ₁ ， x ₂ ， x ₃ 的线性变换（2-3）矩阵形式为 X = BZ ，代入则可得到从 z ₁ ， z ₂ 到 y ₁ ， y ₂ 的线性变换为 Y = A （ BZ ）=（ AB ） Z 。

四、矩阵的转置

定义2-7 把 m × n 型矩阵 A 的行列互换得到的 n × m 型矩阵，称为 A 的转置矩阵，记为 A ^T ，即

例如，，则为列矩阵，则 Y ^T =（ y ₁ y ₂ … y _m ）为行矩阵。

例2-11 已知，求（ AB ） ^T 。

解　由矩阵乘法及转置的定义，计算得到

在运算可行时，矩阵的转置满足下列规律。

现在，证明逆序性，其余运算规律的证明留给读者完成。

证明　设 A =（ a _ij ） _m _× _s ， B =（ b _ij ） _s _× _n ， C = AB ，则 AB 的第 j 行第 i 列交叉处的元素

就是 C ^T 的第 i 行、第 j 列交叉处的元素。

而 B ^T 的第 i 行元素是 b ₁ _i ， b ₂ _i ，…， b _si ， A ^T 的第 j 列元素是 a _j ₁ ， a _j ₂ ，…， a _js ，从而 B ^T A ^T 的第 i 行、第 j 列交叉处的元素是

故，（ AB ） ^T = B ^T A ^T 得证。

逆序性的结论可推广到多个矩阵的情况，即。

五、方阵的幂

定义2-8 设 A 为 n 阶方阵， k 为正整数，方阵的幂定义为

根据矩阵乘法的结合律，方阵 A 的幂满足

因为矩阵的乘法不具有交换律，所以对于两个 n 阶方阵 A 与 B ，一般来说（ AB ） ^k 与 A ^k B ^k 未必相等。只有当 A 与 B 可交换时，才有（ AB ） ^k = A ^k B ^k 。类似可知，如（ A ± B ） ² = A ² ±2 AB + B ² 、（ A - B ）（ A + B ）= A ² - B ² 等公式也只当 A 与 B 可交换时才成立。