第一节
矩阵的概念

一、矩阵的定义

我们从几个实际问题中引出矩阵的定义。

例2-1 某研究组拟探讨紫草提取物对银屑病的治疗效果，以常规治疗有效药复方达克宁为标准治疗组。抽取病情相同、条件相近的银屑病患者，临床试验数据如表2-1所示。

这个临床试验数据可以列成一个矩形数表，即

例2-2 用三个中药方剂治疗心脑血管疾病，同时设不给药组作为对照，各组疗效分为无效、好转、显效三级，结果如表2-2所示。

解　各组疗效结果可以列成一个矩形数表，即

例2-3 m 个方程 n 个未知量的线性方程组

解　保持各个量的位置不变，省去变量记号，可与如下的一个矩形数表一一对应

很多问题的研究最后都归结为分析如上面三个例题最后那样的简单数表。

定义2-1 由 m × n 个数有序地排列成 m 行 n 列的矩形数表，即

称为一个 m × n 型矩阵。简记为（ a _ij ） _{m × n} ，或用粗体大写字母表示为 A _{m × n} ，矩阵记号右下角的 m × n 也可以省掉不写。构成矩阵的每个数称为矩阵的元素， a _ij 表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。

矩阵和行列式虽然形式上有些类似，但有完全不同的意义。矩阵是由 m × n 个数组成的数表，且行数不一定等于列数。行列式是一些数的代数和，本质为数值，且行数与列数相同。

二、特殊矩阵

若两个矩阵的行数和列数对应相同，则称它们是同型矩阵。

两个同型矩阵的对应元素都相等，即

则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A = B 。

元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作 O ，手写时可以加上下标 O _{m × n} 与数字0区分。不同型的零矩阵是不相等的。

行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵，可以记作 A _n 。

只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量，为避免混淆，元素间可以用逗号分隔，即

只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量，即

在例2-3中的矩阵是 m 个方程 n 个未知量的线性方程组的矩阵形式，称为线性方程组的增广矩阵，通常记为 ，线性方程组与增广矩阵之间存在一一对应的关系。在增广矩阵 中去掉最右边一列，则得到线性方程组系数构成的矩阵，称为线性方程组的系数矩阵，通常记为 A 。

n 个变量 x ₁ ， x ₂ ，…， x _n 与 m 个变量 y ₁ ， y ₂ ，…， y _m 之间的关系式

称为从变量 x ₁ ， x ₂ ，…， x _n 到变量 y ₁ ， y ₂ ，…， y _m 的一个线性变换。线性变换的系数 a _ij 构成的矩阵 A =（ a _ij ） _{m × n} ，称为线性变换的系数矩阵。

线性变换和线性变换的系数矩阵之间存在着一一对应的关系。例如，对称变换 与二阶方阵 一一对应。

又如，线性变换

称为正比例变换，对应 n 阶方阵

称为 n 阶对角矩阵，简称对角阵，简记为 Λ =diag（ λ ₁ ， λ ₂ ，…， λ _n ）。方阵的左上角元素到右下角元素的直线称为主对角线。对角阵的特点：除主对角线元素外，其余元素全为0的方阵。

特别地，主对角线上的元素全为 a 的 n 阶对角阵称为数量矩阵，简记为 a ^* 。

特别地，当 a =1时，

称为 n 阶单位矩阵，简称单位阵，记为 E _n 。单位阵的特点：主对角线上的元素全为1，其他元素全为0的方阵。单位阵对应的线性变换为恒等变换。

练习

1. ，已知 A = B ，求 x 、 y 、 z 。

2.已知线性方程组，写出增广矩阵。

3.已知线性变换，写出相应的系数矩阵。 d0SWZcJeXdqOWwDS1z+wW0kLV6Xmzrz+qWp8v8iNp61VliMf3kvE/Ggt53KtQ/Vv