点格棋

格子游戏

数学家埃尔温·伯利坎普（Elwyn Berlekamp）在《点格棋：复杂的儿童游戏》（ Dots and Boxes ： Sophisticated Child's Play ）一书的前言中宣称，这个游戏是“世界上数学含量最丰富且最受欢迎的儿童游戏”。这句话的原文稍微有些歧义，但不管他的意思是说这是一款面向受欢迎的孩子的复杂游戏，还是一款面向成熟孩子的受欢迎的游戏，抑或是一款面向富有且受欢迎的孩子的复杂且世俗的游戏，其传达出的信息都是明确的：这款游戏非常棒。

由于篇幅所限，在本节中，我无法为你们展示完整的点格棋理论。不过，我接下来要展示的东西更棒：完整的数学探究理论，来自第一个发明这个游戏规则的学者。

如果你问我阅读以下文字会不会让你变成一个富有、受欢迎、成熟的孩子，虽然我不能给你法律意义上的保证，但是你看到我在眨眼了吧？懂了吗？跟我冲！

这个游戏怎么玩？

你需要准备什么？ 2名玩家、2支不同颜色的笔和一系列点。我推荐6×6的点，但也不一定，只要是能组成矩形的一系列点都可以。

玩家的目标是什么？ 比对手占领更多的格子。

游戏的规则是怎样的呢？

（1）玩家轮流画出垂直或水平的短线，以 连接相邻的点 。

（2） 谁画出一个小格子的第4条线，谁就可以宣布这个格子被自己占领了 （可以在里面写上自己的名字），然后 直接走下一步 。

这条规则可以让你在对手有机会再次移动之前连续占领几个格子。

（3）一直玩到网格被画满， 最终谁占领的格子多，谁就是赢家 。

游戏体验笔记

我第一次玩这款游戏是童年时在地下室玩的，四周摆满了放录像带的架子，不时还会传来楼上大人们经过时的脚步声。我和几个兄弟姐妹都缺乏战略经验：大家的行动几乎是随机的，只是在努力确保不要在任何格子上画第3条线（因为这会“帮助”你的对手画第4条线），而且不论我们愿不愿意，最后网格里的标记都会分散得毫无章法。 直到游戏进行至某个时刻，已经没有安全的地方可以画，事态就开始变得紧张起来。

这时，牺牲已经是不可避免的了，但并不是所有的牺牲都有同等的价值。有些招式可能只会让给对手1～2个格子，而另一些几乎会让给对手整个棋盘。我总是尽量让出最小的区域，把较大的区域留给自己。

多年以后，也就是在写这本书时，我领悟到了其中一个关键策略。这个策略执行起来很简单，但足以击败99%的新手，那就是， 一箭双雕 。具体方法是，当对手准备在下一回合占领某个格子时，不要给他机会。取而代之，你可以跳过倒数第二步，缩短自己的回合。这样你只牺牲了2个格子，而对手则需要通过画一条线来获得这2个格子（因此被称为“一箭双雕”）。作为交换，你将得到对手所关注的整个区域。

在这一策略层面之外，当你试图控制已成形区域的大小和结构时，一切都将变得模糊而复杂。如果想了解这些细节，你可以参考伟大的已故数学家埃尔温·伯利坎普的著作。他在我写这本书期间去世了，我们将永远怀念这个精明、成熟的“大孩子”。

这个游戏从何而来？

今天，你会在很多地方看到点格棋的身影，黑板、白板、硬纸板、便笺、餐巾纸，甚至在某些极端情况下，裸露的手臂上也会出现。 它首次被提及是在数学家爱德华·卢卡斯 于1889年出版的《点格棋》（ La Pipopipette ）一书中。卢卡斯把该游戏的发明归功于他在著名的巴黎综合理工学院任教时的几名学生。

这不由得让人疑惑，为什么这些名校的学生会花时间研究面向儿童的游戏？为什么像卢卡斯这样受人尊敬的学者会选择设计这样一款游戏？

因为严肃的数学往往来自幼稚的游戏。

我们在卢卡斯本人的职业生涯中也看到了这种模式。他最著名的可能是关于斐波那契数列的研究，其中每个数都是前2个数的和（经典数列从“1，1，2，3，5，8”开始，以此类推）。斐波那契数列看起来像个愚蠢的游戏，然而，当你开始数松果上的凸起、雏菊的花瓣或菠萝表面的小果眼儿时，将会意识到这个愚蠢的游戏不仅孩子们（以及不成熟的成年人）在玩，大自然自己也在玩。

或者以炮弹问题为例，这是卢卡斯喜欢的另一个游戏。这个游戏需要求出当炮弹的数量为多少时，炮弹既可以堆成一个正方体，又可以堆成一个正四面体金字塔。这个谜题毫无意义，但解题难度是地狱级别的。经过推算，卢卡斯认为，已知的答案（4 900枚炮弹）是这个游戏唯一的解。几十年后，人们对椭圆函数的进一步研究最终证明他是对的。

还可以了解一下卢卡斯最著名的发明：河内塔。你之前可能见过，它有3根立柱和1组圆盘，初始状态是圆盘按从大到小的顺序从底部往上套叠在其中一根立柱上，形成一座塔。玩家的目标是将整座塔从一根立柱转移到另一根立柱上，每次只能移动一个圆盘，而且要保证大的圆盘不放在小的圆盘上。

无论是从外观还是从内涵上，这座塔——怎么说呢——看起来都像一个婴儿玩具。然而，人们已经给河内塔找到了各种各样的实际用途：心理学家利用它测试认知能力，计算机科学教授用它来讲授递归算法，软件工程师把它作为一个备份数据的轮换方案。

游戏是如何如此轻易地混入科学研究中的呢？为什么工作和娱乐之间的界限是如此模糊、如此混乱？

说句实话，我真不知道，估计卢卡斯也不知道。我们只能说，简单的数学原理一次又一次地产生深远的影响。这就是数学——复杂的相互作用中的简单概念。正如卢卡斯在谈到点格棋时所言：“它的玩法虽然简单，却能源源不断地带来惊喜。”

为什么这个游戏很重要？

因为无用的游戏往往能产生最有用的见解。

在《点格棋》一书中，爱德华·卢卡斯用很长的篇幅介绍了纯粹的好奇心的价值。通过列举历史中的一系列事例，他提出我们必须为了问题本身而追问问题，不管这些问题看起来有多愚蠢，因为我们永远不知道自己可能会发现什么深刻的真相。

他的辞藻虽然华丽得过了头，但仍然值得引用。

所有数学家都在孜孜不倦地探索不同思想之间的深层联系。问题是，该怎么做呢？更加努力地寻找？或许是个办法。更加耐心地计算？不一定会有好结果。在书中查找答案？不好意思，你离正确答案越来越远了。依靠想象力的飞跃？对了，这就是我们接下来要讨论的。

爱德华·卢卡斯认为，深奥的原理来自玩乐，科学来自愚笨。他并不是唯一这样想的人。埃尔温·伯利坎普6岁时接触到点格棋，70年后，他仍在玩这个游戏。因此，可以说这个游戏陪伴了他一生。在麻省理工学院电气工程专业学习时，他突然意识到可以用数学将点格棋游戏转化为等价的“二元游戏”，并将其称为“绳子与硬币”游戏。

那么，点格棋的这个替代版是怎样的呢？想象一下，用几根绳子将一堆硬币连在一起。每根绳子的一端粘在一枚硬币上，另一端粘在另一枚硬币（或桌子）上。玩家轮流用剪刀把绳子剪断。如果绳子被剪断后释放了一枚硬币，你就能把这枚硬币装进口袋，然后继续剪绳子。当最后一枚硬币被释放时，谁口袋里的硬币多，谁就是赢家。

在“绳子与硬币”游戏中，没有格子，只有硬币；不画线，只剪绳子。但这两个游戏在本质上是一样的。在没有改变核心结构的情况下，埃尔温把点格棋游戏翻了个底朝天。

这个新游戏的意义在哪里？没有什么意义，就是很酷。“让思想家去思考，让梦想家去做梦，”爱德华·卢卡斯写道，“不必担心他们关注的对象是否时而有用，时而浅薄，因为正如智者安纳萨格拉斯 所说：‘一切都存在于一切之中。’”

这一哲学理念推动了数千年的数学探索，还将在未来持续下去。让思想家去思考吧，让梦想家去做梦吧，让学生在课堂上信手涂鸦吧。不要再试图划清现实与不切实际、有意义与无意义、无所事事与理想主义之间的无形边界了。它们都属于同一片广袤无垠的大陆、同一片我们刚刚开始探索的壮丽荒野。

变体及相关游戏

瑞典棋盘 ：从已经画好的棋盘外缘开始。

点和三角形： 其他游戏规则都保持不变，除了点的排布形状改成了等边三角形，玩家们需要争夺小等边三角形的所有权。在我看来，这个改动让游戏焕然一新（而且三角形也不难画）。如果你已经玩腻了点格棋的经典版本，那么在餐厅等上菜的时候，就非常适合来两局“点和三角形”。

纳扎雷诺： 点格棋的这个巧妙变体来自安德烈亚·安焦利诺（Andrea Angiolino）的著作《超有趣的纸笔游戏》（ Super Sharp Pencil and Paper Games ）。在这个新游戏中，只改变了2个规则：第一，在每个回合， 你都可以画一条任意长度的直线， 只要它不和现有的线重合（如此一来，你就可以用一条线完成并占领多个格子）；第二，当玩家完成一个格子时，不会奖励该玩家接着再画一条线。

“点和三角形”游戏看起来与点格棋不大一样，外观上的差异掩盖了这2个游戏基本相同的内核。“纳扎雷诺”恰恰相反：在相似的外观下掩藏着与点格棋完全不同的游戏体验。

正方形珊瑚虫： 沃尔特·尤里斯（Walter Joris）在他的《100个纸笔策略游戏》（ 100 Strategic Games for Pen and Paper ）一书中提及了一些天马行空、带有点格棋影子的游戏。我最喜欢的是第90个：正方形珊瑚虫。玩这个游戏，需要2名玩家和2支不同颜色的笔。

（1）画一个9×9圆点阵列（初学者可以少画一些，资深玩家可以多画一些），然后两个玩家 轮流在上面放置正方形珊瑚虫 。正方形珊瑚虫就是有两条相邻的边延伸出来的正方形，像下面这样：

（2） 用属于你的颜色围起来的部分就是你的领地。 每只珊瑚虫会自动占据一个1×1正方形，但如果玩得好，你可以占据面积更大、形状更奇怪的区域。

（3） 线条不可以重叠。 否则，你就可以用一个刺状的触手来破坏对手的精巧构思了（同样，他也可以借此轻松地破坏你的构思）。

（4） 玩到无路可走 时，谁的圈地面积大，谁就是赢家。 x8RFNfGYtOVJLpf7Wi6lUl/MDGakaSrS4fJ+gyIhshA8OaiCO170N/w35G84y9o5