第2章
数字游戏

准备好了吗？接下来我将用一个无懈可击的哲学证明来论证每个数字都是有趣的。

每个数字，无一例外。

尽管我喜欢按顺序介绍数字——1是最孤独的，2是唯一的偶数质数，3呢，我认为《玩具总动员3》是整个系列中最好看的，但这样会让人精疲力竭。现在让我们来假设，沿着数字这条路一直走下去，在某个地方，我们碰到了一个无趣的数字。

从12（五格拼板 能够拼成的形状种数）到19（六角幻方 的唯一解法），再到561（最小的绝对伪质数 ^[1] ），每个数字都像孩子一样独特、像圣代（冰激凌）一样无可取代，直到我们突然遇到一个乏味的数字。我们求出这个数字的立方，对它进行因数分解，并请“三犬之夜”乐队 在年鉴上给它一个最高的荣誉……但一切都无济于事。我们从没见过这么无聊的数字，这是第一次有一个数字让人觉得如此乏味。这难道不令人惊讶？或者说感到震惊？你甚至可以称之为……哦，我想想该用什么词……另外一种意义上的有趣？

如果存在一系列无趣的数字，那么一定会有某个数字位于无趣数字行列的第一个。这样一来，第一个无趣的数字应该非常有趣。逻辑上不允许存在这样的悖论。因此，所有数字都必须是有趣的。

好了，证明完毕。

维基百科称这种证明是“半幽默”的，按照该网站的标准，这是一种严厉的批评。尽管如此，我认为它还是抓住了数学的一些精髓。我被数字吸引的原因，与成千上万整日奔波、疲惫不堪，但每天早上仍要抽出15分钟玩数独游戏的人的原因是一样的：不是为了糊口，也不是为了赚钱，只是为了满足我们对数字结构所编织的图案的好奇心。“神明就在那里，”现代主义建筑大师勒·柯布西耶（Le Corbusier）说，“在墙后面，正与数字玩耍。”

要加入他们的游戏，只需要小小地放飞一下想象力。

举个例子：这是我最近很感兴趣的一个游戏。它从所谓的完全数（又称完美数）开始，每个完全数都有一个有趣的性质：如果你把它的真因数（小于它的因数）相加，就会得到原来的数。

这有什么意义呢？哦，我向你保证，毫无意义。尽管名字很好听，但完全数在理论上毫无用处，在实践中也是一样。它们只是拥有可爱的定义和好的名声罢了。英国数学家约翰·利特伍德（John Littlewood）说：“完全数虽然没有做出任何贡献，但它们也没有带来任何伤害。”就像我的高中好友朱利安对纯粹数学的评价：“嘿，它至少让数学家不再流落街头。”

需要明确的一点是，很多常见的数字并不是完全数。如果一个数的真因数加起来小于它自己，它就是亏数；如果大于它自己，它就是盈数。

完全数就像一切完美的事物一样难以捉摸。古希腊人只知道4个完全数。后来到了12世纪，埃及人伊斯梅尔·伊本·福尔斯（Ismail ibn Fallˉus）又发现了3个。到1910年，总数达到9个。即使在今天，计算机强大到我们可以制作出前总统的说唱音频，也只找到51个完全数，这是在长达2 500年的复活节彩蛋搜寻历程中取得的微弱胜利。

如果举办多年的足球赛只有51个进球，很难想象这项运动还能留住球迷。 那么，完全数到底有什么乐趣呢？人们为什么要玩一个几乎赢不了的游戏？

啊呀，你们这些缺乏信仰的人，难道已经忘了每个数都很有趣吗？

我们不必苛求自己找到完全数。相反，取任何一个数，找出它的真因数，计算它们的和……然后，从这个新的数字开始，再重复一遍。如果你继续下去，就会得到一个被称为“整除数列”的结果。

这个游戏揭示了一个秘密的联系系统。每个数字都指向一个新的数字，就像间谍网络中的特工一样。我们可以调整数轴，就好像自己是电影中的侦探一样，从一连串线人那里嗅出情报：20让我们找到了22，22告诉我们去找14，14带我们找到10，10建议我们试试8……

这个游戏很自然地引出一个问题：一旦一个数列开始，它将在哪里结束？例如，质数都等于1（因为它们没有其他因数）。完全数会导致自我闭环：28把你送到28，28又把你送回28。有些数字则会形成相互指向的配对：220会把你送到284，284又把你送回220。这样的二人组有一个可爱的名字：“友好数”。

数学家花了几个世纪的时间来寻找这些幸福的伙伴。有趣的是，第二对（1 184和1 210）的发现费了很大一番功夫，笛卡尔、费马和欧拉等名人都忽略了它，它们是被一个16岁的学生发现的。今天，已知的友好数已超过10亿对。

这是否涵盖了这类数列结束的所有方式？还差得远呢。有些循环会一直重复某个数字，（例如，6→6→6→6…）有些会一直重复某2个数字。（例如，1 184→1 210→1 184→1 210…）当然还可以有更长的循环，呈链环状，被硬核玩家称为“交际数”。下面举2个例子：

当我编写了一个计算机程序来寻找这些链环时，发现了一个惊人的“阴谋”：在某个单链环中竟然有28个交际数。我偶然发现了目前已知的最大链环，就像之前的无数数学家一样，我几乎不敢相信眼前的结果。还有什么能比发现20多个平平无奇、互不相关的平民组成了一个秘密的阴谋集团——整数世界的共济会——更能证明每个数字都很有趣呢？

关于这个游戏，我可以写一本书。你知道吗？有些数字（如2和5）从来没有被其他数字指向过，这种悲惨的情况被称为“不可触及”。你有没有注意到，有些数列在数值下降之前会上升到极高的高度，如从138到达179 931 895 322的顶峰，然后像伊卡洛斯 一样降落在地面？你有没有想过，是否有数字能完全摆脱重力，永远升入天堂？或许真的有可能，只是我们还没发现。还有一些较小的数字，如276，命运是未知的：它们的数列上升趋势超出了我们的能力范围，就像飞机消失在天际，没有留下任何表明它们打算何时或是否返回的迹象。

这个游戏有一天会产生实际的应用价值吗？目前看起来似乎不可能。不过多年前，数学家G. H. 哈代（G. H. Hardy）对构成互联网安全基础的质数也给过同样的评价。虽然数论始于玩乐，但它往往以深奥终结。

也许有一天，我们漫无目的的整除数列游戏将发展成一门强大的、有用的学科，就像化学从炼金术发展而来一样，这种转变比炼金术本身更神奇。与此同时，本章介绍的5款游戏将邀请你在数字的世界中嬉戏，这个充满闭环、不可触及者和令人震惊的阴谋的游乐场，正等待着下一个16岁的少年去发现。

[1] 对于任何数字 n ， n 561 的幂都恰好比561的倍数大 n 。所有质数都符合这一规律，而561是第一个符合这一规律的合数。这个知识点不会出现在课堂小测中。 kUUJcn0gNLYXcqTxwBqG0CIT0NpxJvk3adI1Bvi6hgsIgyD84jGBwmaY4Mmxqsv3