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起动机在发动机的起动过程中起着至关重要的作用，其主要功能就是通过电机带动发动机曲轴达到一定转速，使发动机能够进入连续稳定燃烧状态。随着发动机电控技术的发展，基于模型的控制和测试技术成为发动机电控系统开发的主流方向。其中，精确可信的起动机系统模型对于发动机起动过渡过程的研究是必不可少的。因为传统的车用起动机大都为直流电机，所以直流电机模型是理解起动机系统模型的一个基础。
起动机实物图如图4-1所示。起动机一般由直流电机和传动机构组成，其中，直流电机利用蓄电池供电，为曲轴提供驱动转矩，这些直流电机一般为串励或永磁直流电机；传动机构的主要作用是将直流电机产生的转矩放大，并单方向传递给曲轴，所以传动机构主要包括减速器和单向离合器。根据应用的不同，减速器并不是必需的，不带减速器的起动机也称为直驱起动机。根据起动机的组成，可以给出起动机系统模型的基本框架，如图4-2所示。该框图可以理解为如下三个物理过程。
图4-1 起动机实物图
图4-2 起动机系统模型框图
（1）蓄电池为起动机供电
该过程中蓄电池相当于电压源，其电压 u a 作用在起动机电枢绕组上产生电流 i a ，该电流反作用在蓄电池的内阻上，影响蓄电池的输出电压，从而通过电池模型及直流电机共同决定了蓄电池向电枢绕组供电的功率 P a = u a i a 。
（2）直流电机驱动传动机构
该过程中直流电机的电枢电流与励磁磁场相互作用，产生电磁转矩 T e 输出到传动机构的输入轴上，输入轴相当于直流电机的机械负载；同时，传动轴的转速 ω mot （即电机转速）又会影响直流电机的反电动势，从而影响直流电机的输出转矩。所以直流电机及其负载特性的相互作用决定了电机向传动机构输出的机械功率 P mot = ω mot T e 。
（3）传动机构驱动发动机曲轴
该过程中传动机构输出轴转矩 T drv 作用在曲轴上。发动机曲轴同时受到气缸内气体压缩、摩擦等因素的影响，并由此决定了传动机构输出轴的转速 ω eng 。这一过程则是传动机构与发动机共同决定了起动机带动曲轴旋转的机械功率 P drv = ω eng T drv 。
对于以上三个过程，本书中只针对起动机系统的电磁过程进行建模，不涉及机械运动部分的建模，有兴趣的读者可以参考文献[17]中对单向离合器及发动机负载特性的详细建模及仿真实验结果。相似的建模过程也可以参考12.4节中的纯电动汽车建模。
首先建立蓄电池模型，将蓄电池等效为理想电压源与内阻串联的形式，可以得到蓄电池输出到电枢绕组的电压为
式中， u a 为直流电机电枢绕组上的电压； u o 为蓄电池的开路电压； R b 为蓄电池的内阻； i a 为直流电机的电枢电流。
下面计算直流电机在 u a 作用下产生的电枢电流，忽略电刷压降，参照式（3-4）和式（3-5）可得
因为起动机起动过程的速度变化远小于电枢电流变化，所以可忽略起动机起动过程中的电流暂态过程及式（4-2）中的电感压降，可将其简化为
根据式（3-17）可得直流电机的转矩输出为
直流电机的机械功率为
由此便完整地描述了图4-2中蓄电池及直流电机的物理模型，可直接用于仿真计算。
下面介绍以上模型与起动机选型及工作特性的关系。一般在起动机的手册中都会给出起动机的工作特性，用于起动机的选型和匹配。这些工作特性一般以电枢电流为横轴，电枢电压、电磁转矩、转速和输出功率为纵轴。以永磁直驱起动机为例，电枢电压通过式（4-1）得到，电磁转矩通过式（4-4）得到，输出功率通过式（4-5）得到，而转速则需要将式（4-3）改写为
式（4-6）表面上似乎描述了直流电机转速由电压、电流决定，且该理解与前述模型中直流电机转速由负载特性决定的结论矛盾。这是因为，式（4-6）中描述的是电磁稳态工况，在稳态工况下，电磁转矩与负载转矩平衡，所以电枢电流 i a 可以认为是与负载特性相关的。
下面用一个例子说明式（4-6）与负载转矩的关系。假设直流电机带恒转矩负载 T L ，则当直流电机达到稳态时，负载转矩与直流电机的电磁转矩平衡，可得
将式（4-4）代入式（4-7）可得
将式（4-8）代入式（4-6）可得
所以可知，式（4-6）中的直流电机转速本质上依然是由负载决定的。
将表4-1中的参数分别代入式（4-1）、式（4-4）、式（4-5）和式（4-6），即可得到永磁直流起动机的运行特性，如图4-3所示。图4-3中，电压、转矩和转速曲线均为直线，只有输出机械功率的特性为抛物线。
表4-1 永磁直流起动机系统参数表
图4-3 永磁直流起动机的运行特性
常见的起动机转速特性往往有明显的下凹趋势，这是因为这类起动机为串励起动机或部分采用了串励绕组。下面分析串励情况下的起动机运行特性。如起动机绕组为串励，则其反电动势系数 k e 与电枢电流成正比，此时令 k e （ i a ）的表达式为
则依据式（4-6），该起动机的转速特性可以表示为
依据式（4-8），该起动机的转矩特性可以表示为
取 k s =3.2×10 -4 V/（A·rad/s），其他参数采用表4-1中的参数，依照永磁直流起动机的计算方法可以计算得到串励直流起动机的运行特性，如图4-4所示。从图4-4中可以看到，此时的转速特性呈现了双曲线的下凹特性，而转矩特性则随着电枢电流的增加，以电流的2次方倍增加。实际情况中，随着电流的增加，磁场会产生饱和，相应的 k s 会随着电枢电流的增大而减小，即转矩上升的特性会相对平缓。
图4-4 串励直流起动机的运行特性
实际起动机系统中还会存在一些明显的非线性特性。这些非线性特性包括蓄电池开路电压随荷电状态（SOC）的变化、蓄电池内阻随SOC的变化、直流电机的温度变化对电枢电阻及永磁体的影响、气隙磁场的饱和特性、摩擦阻力的非线性等。若要求考虑以上因素进行建模，则需要将模型中对应的常系数代换为SOC、温度、磁场和转速等变量的函数进行模型的求解，而这些函数一般是通过相当复杂的实验标定获得的。文献[17]采用了与以上永磁直流起动机相同的数学模型，并进行了直流起动机起动过程的仿真及实验验证。从其结果可以看到，直流起动机的工况点相对比较固定，波动范围并不大，所以通过其主要工况的参数标定，直流起动机的非线性因素在实际使用工况范围内对模型精度的影响并不大。