下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
在机械系统中一般不只是单独使用一个弹性元件，而是根据结构的需要，将若干个弹簧串联或并联起来使用。这样在分析这个系统动力学问题时，就需要将这若干个弹簧折算成一个等效弹簧来处理，这种等效弹簧的刚度与原系统组合弹簧的刚度相等，称为等效刚度，也称为组合刚度。
如图2-11所示的组合弹簧，两弹簧的两端同时连接于固定面上，又同时连接于质量块 m 上，这种形式称为并联弹簧。
图2-11 并联弹簧
取平衡位置时的质量块作为研究对象，质量块 m 受重力、弹性力作用处于平衡状态，两根弹簧的静变形都是 δ st ，弹性力分别为 F 1 = k 1 δ st ， F 2 = k 2 δ st ，由平衡条件 ∑F x =0，可得
如果用一根刚度系数为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则
比较式（2-17）与式（2-18），得并联弹簧的等效刚度系数 k 为
由此可知：并联弹簧的特点是两弹簧的变形相等，都等于质量块的位移，但受力不等。并联后的等效刚度系数是各并联刚度系数的算数之和。
并联弹簧系统的自然频率为
对于图2-12所示的组合弹簧，弹簧 k 1 和弹簧 k 2 首尾相接，这种形式称为串联弹簧。
当质量块在平衡位置时，它的静位移 δ st 等于每根弹簧的静变形之和，即
因为弹簧是串联的，其特征是：两弹簧受力相等，即每根弹簧所受的拉力都等于重力 mg 。两根弹簧的静变形量表示为
图2-12 串联弹簧
如果用一根刚度系数为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，则此弹簧的静变形等于 δ st ，计算式为
将式（2-22）和式（2-23）代入式（2-21），可得串联弹簧的等效刚度系数 k 为
由此可知，串联弹簧的特点是两弹簧的受力相等，而变形不相等。串联后的刚度系数的倒数等于各串联刚度系数倒数的算数和，串联后的等效刚度减小了，而且比原来任一刚度系数都要小。
串联弹簧系统的固有频率为
[例2-3] 求图2-13所示各振动系统的自然频率。
图2-13 组合弹簧的振动系统
解： 1）图2-13a所示系统中，刚度为 k 1 的两个弹簧并联，等效刚度为2 k 1 ，而等效后刚度为2 k 1 的弹簧又与刚度为 k 2 的弹簧串联。
串联弹簧的等效刚度公式为
化简式（2-26）得到等效刚度为
因此，系统自然频率如下：
2）图2-13b所示系统中，当质量块 m 发生位移 x 时，弹簧 k 1 、 k 2 和 k 3 同时发生位移 x ，则3个弹簧的位移相同，是并联关系，其等效刚度为
由此可得系统的自然频率为
