3.3 静载荷作用下轴承内部载荷分布

若已知轴承中每个滚动体的接触载荷分布状况，则能够进一步确定轴承所受外载荷在滚动体之间是如何分配的。为做到这一点，必须建立滚动体与滚道之间接触载荷-位移关系。在广泛采用数值计算之前，对滚动体之间载荷分布的分析已经提出了一些相对简单有效的方法。接下来将采用这些方法来研究静载荷作用下滚动轴承中的载荷分布。

3.3.1 载荷与变形关系

对于球-滚道接触（点接触），载荷 Q 与变形 δ 之间的关系为

对式（3-16）进行转换，写成等式形式

式中， K _p 为球与滚道的载荷-变形常数。

对于滚子-滚道接触（线接触），载荷 Q 与变形 δ 之间的关系为

式中， K _l 为滚子与滚道的载荷-变形常数。

可写成一般形式

式中， K 为载荷-变形常数； n 为指数，对于球轴承 n= 3 / 2，对于滚子轴承 n= 10 / 9。

外载荷作用下，内、外滚道之间的法向趋近量 δ _n 等于滚动体与内、外滚道的趋近量 δ _i 、 δ _e 之和，因此

于是等效载荷-变形常数

对于钢制球与滚道的接触，

式中，∑ ρ 为曲率和； δ ^* 为球与滚道的弹性变形。

对于钢制滚子与滚道的接触，

3.3.2 径向载荷下轴承载荷分布

在纯径向载荷作用下，刚性支承轴承的滚动体在任意角度 ψ 位置的径向位移 δ _ψ 为

式中， δ _r 是 ψ= 0°处套圈的径向移动量； G _r 是轴承的装配径向游隙。

图3-13表示有径向游隙的向心轴承套圈位移示意图。式（3-25）可以按照最大变形量 δ _max 改写为

式中

式中， 。

根据式（3-27），可以得到由径向游隙确定的承载区域的角度范围为

对于零游隙， ψ _l =± 90°。

由式（3-19），得

于是，由式（3-26）和式（3-29）得

为了满足静力平衡，轴承所承受的径向载荷必须等于所有滚动体载荷的径向分量之和，因此

或

式（3-32）还可以写成积分形式

或

式中

对于不同的 ε 值，可以对式（3-35）所表示的径向积分 J _r （ ε ）进行数值计算。表3-1为载荷分布积分。

由式（3-22）得

所以

对于给定了游隙和载荷的特定轴承，可以用控制误差的试解法求解式（3-37）。首先假定 δ _r 的值，然后由式（3-27）计算 ε ，再利用表3-1得到 J _r （ ε ）的值。如果不能满足式（3-37），则重复上述过程。图3-14也给出了 J _r 与 ε 的对应值。

图3-15表明了与 ε 值对应的径向载荷分布，对于零游隙， ε =0.5；对于正游隙，0＜ ε ＜0.5；对于负游隙或过盈配合，0.5＜ ε ＜1。因此， ε 可以看作承载区域在轴承直径上的投影与直径之比。

对于承受纯径向载荷而且游隙为零的球轴承，Stribeck给出

考虑到轴承中正常的径向游隙，可以采用下面的近似公式

对于承受纯径向载荷而且内部径向游隙为零的向心滚子轴承，有

式（3-39）对于有正常径向游隙的圆柱滚子轴承也是有效的。但式（3-39）不适用于计算承受轻载荷轴承的最大滚动体载荷。

通过以上有关方程可以求解载荷分布，步骤如下：

（1）较精确解法

1）由式（3-21）求出载荷-变形常数 K _n 。

2）用数值积分中的迭代法解式（3-27），求出 ε 。

3）根据 ε 查表3-1求出 J _r （ ε ）。

4）由式（3-34）计算 Q _max 。

5）由式（3-28）和式（3-30）计算承载区域范围 Ψ _l 和每个滚动体载荷 Q _Ψ 。

（2）近似解法

1）由式（3-39）计算近似值 Q _max 。

2）根据 Q _max 由式（3-34）求 J _r （ ε ），查表3-1求 ε 。

3）由式（3-28）和式（3-30）计算承载区域范围 Ψ _l 和每个滚动体载荷 Q _Ψ 。

3.3.3 轴向载荷下轴承载荷分布

1.中心轴向载荷

承受轴向载荷的球和滚子轴承的所有滚动体都会承受一个相同的接触载荷。因此

式中， α 是载荷作用下的轴承接触角。对于接触角小于90°的角接触球轴承，其载荷作用下的接触角要大于无载荷作用时的初始接触角 α ^o 。

2.偏心轴向载荷作用下单向推力轴承载荷分布

图3-16所示为承受偏心轴向载荷的推力球轴承，假设 ψ= 0°为接触载荷最大的滚动体的位置，则

因此

由式（3-42）和式（3-43）可以推断出下列关系

式中

承载区域的范围为

和式（3-30）一样

静力和力矩平衡要求

式（3-48）和式（3-49）也可以写成如下的轴向和力矩积分的形式：

式中

表3-2给出了单列推力轴承的 J _a （ ε ）、 J _m （ ε ）与2 e/D _pw 的对应关系。图3-17和图3-18表示了相同的数据。图3-19所示为承受偏心载荷作用下的90°推力轴承的典型载荷分布。

3.偏心轴向载荷作用下双向推力轴承载荷分布

下列关系适用于双列双向推力轴承

同时还有

以及

根据式（3-19），式（3-57）写成

式中，对推力球轴承， n =1.5；对推力滚子轴承， n =1.11。

根据力和力矩平衡条件可得

式中

式中

表3-3给出了双列推力轴承的 J _a （ ε ）、 J _m （ ε ）与2 e/D _pw 的对应关系。图3-20和图3-21表示了相同的数据。

3.3.4 径向载荷和轴向载荷联合作用下轴承载荷分布

1.单列轴承

在轴向载荷和径向载荷同时作用下，轴承内、外圈将在轴向和径向方向分别发生相对位移 δ _a 和 δ _r ，如图3-22所示。这里同样以受载最大滚动体的位置为起点，即 ψ =0，在任意位置角套圈的位移量为

由图3-22可以看出，当 ψ= 0°时位移达到最大，最大位移为

将式（3-63）、式（3-64）合并，得

式（3-65）的形式与式（3-26）相同，但式（3-65）中

还可得

式中，对于球轴承， n =1.5；对于滚子轴承， n =1.11。

为了保持静力平衡，在各个方向上滚动体受力之和必须等于该方向上的作用载荷，即

式中，载荷角的定义为

将式（3-68）、式（3-69）分别写成径向和轴向积分的形式

式（3-72）和式（3-74）的积分由Sjovas引入。表3-4给出了点接触和线接触下 F _r tan α/F _a 函数的积分值。

应该注意的是，若假定轴承中受力滚动体的接触角固定不变，其积分值应近似相等。但在计算过程中，这些积分值依然具有足够的精度，可以得到

或

图3-23和图3-24分别给出了点接触和线接触下 J _a （ ε ）、 J _r （ ε ）、 ε 与 F _r tan α/F _a 的关系。

2.双列轴承

用下标1和2表示径向游隙为零的双列轴承的列号，则

将上述条件代入式（3-64）和式（3-65），得

只有当两列轴承均承受载荷时，式（3-80）才会成立。若仅有一列轴承受载，则

由式（3-19）进一步可以得到

根据静力平衡定理，得

同样

式中

表3-5给出了 J _a 、 J _r 与 F _r tan α / F _a 的对应关系。图3-25和图3-26分别为点接触和线接触下相同数据的图形关系。

3.3.5 径向载荷、轴向载荷和力矩联合作用下轴承载荷分布

图3-27表示角接触球轴承受轴向载荷 F _a 、径向载荷 F _r 和绕 y 轴的力矩 M 作用后，内圈相对外圈在外力的方向上发生的相对位移，分别为 δ _a 、 δ _r 和 θ 。假设外圈固定不动，图3-28表示内、外沟曲率中心轨迹在位移前后的相对位置。图中 m ₀ 、 n ₀ 是受载最大的位置 Ψ =0处内、外沟曲率中心， m ′ ₀ 是 m ₀ 位移后的位置， m _Ψ 、 n _Ψ 是任意 Ψ 位置处内外沟曲率中心， 是 m _Ψ 位移后的位置。

轴承受载前任意位置内、外沟曲率中心距离 A 均为

受载后任意位置 Ψ 处钢球与内、外圈总的接触变形等于位移后沟曲率中心距 S _Ψ 与原始中心距 A 之差，即

位移之后任意位置沟曲率中心距为

式中

引入无量纲位移

将式（3-95）代入式（3-90）得到

将式（3-96）代入式（3-22）得到任意位置滚动体接触载荷

受载后接触角发生变化，任意位置接触角 α _Ψ 可表示为

轴承内圈的力和力矩平衡方程为

式（3-100）～式（3-102）是未知量 δ _a 、 δ _r 和 θ 的非线性方程，采用数值计算方法求出 δ _a 、 δ _r 和 θ 后，再根据上述有关方程便可计算任意位置的滚动体载荷 Q _Ψ 及接触角 α _Ψ 。 sPSHhgOoZQqbi/tZ+v2ujnfnjvc5zFKSue69qrclss/0zzHs+JpHufio2NMetNXy