1.1 广义相对论对“水星近日点进动”的数学推导与解释

1.1.1 牛顿力学对行星轨道的推导过程

在理论力学中，行星在万有引力作用下的运动轨迹主要涉及两个守恒量，一个是角动量守恒，一个是能量守恒，主要公式如下 ^[2]

其中守恒量 E 和 L 分别是行星的能量和角动量。消去二式中的 t ，就可以得到行星运动的轨道方程：

两边对 ϕ 微商，可以得到：

令 ，上式可化成：

此方程的解就是行星运动轨道的曲线方程，它是：

或者：

上式表示一个闭合的椭圆， e 为偏心率，因此，按照牛顿理论推导出来的行星运行轨道是闭合的。但是，天文观测表明，行星轨道并不是封闭的，其轨道会产生进动现象，在太阳系八大行星中以水星近日点的进动效应最明显。

1.1.2 广义相对论对行星轨道的推导过程

根据能量守恒、角动量守恒、四速缩并，令参量 λ 取固有时 τ ，有以下关系式：

消去固有时 τ ，就可以得到轨道方程

为了简化计算，可以采取自然单位制，也就是 G = c =1。两边对 ϕ 微商，可以得到：

令 ，上式可化为：

从上式可以看出，与牛顿理论得出的轨道方程 相比，广义相对论得出的方程仅仅多出了后面的 项，广义相对论称之为修正项。将太阳质量 M 以及水星轨道的平均半径 r 代入 计算，可得 ，根据这个结果可知修正项 的量级是 。因此，爱因斯坦认为可以把牛顿解作为广义相对论的零级近似解，因为直接对含有 项的二阶微分方程求解是很困难的，把牛顿理论得出的解 代入 ，这个平方项就不存在了，这可以很大程度地降低求解难度。根据牛顿理论得出的行星轨道的曲线方程： ，广义相对论认为 e 的值很小，因此， 与 u 也是相同的数量级，把牛顿理论得出的解代入广义相对论关于行星轨道的方程

也就是：

整理得到：

针对上面的式子，广义相对论认为水星轨道的偏心率非常小，也就是 e <<1，因此等式最右边的 项可以略去。对于等式右边第二项，广义相对论认为和右边第一项相比是一个高阶小量也可以略去。因此，最终广义相对论所得到的方程变为：

由于，此方程为线性方程，因此，该方程的解可以分成两个部分：

u = u ₁ + u ₂

代入上式可得：

我们可以得到 u ₁ 和 u ₂ 的解，分别为：

其中 u ₁ 与牛顿理论推导的行星轨道的曲线方程完全相同

略去高于 的项，最终得到广义相对论的水星轨道方程：

由上式可知，行星轨道上的任一点在转动 ϕ =2 π 后，都回不到相应的“原位置”上，而必须再转过一个小角度，这是因为 u 的周期 T 不再是 ϕ =2 π ，而是

也就是说，对连续运动的行星而言，轨道上任一点都要转过 ϕ _n 的角度才能回到相应的“原位置”。

其中：

该公式表明，行星轨道将会不断发生进动现象，从观测精度来说，近日点的进动更易于观测，相邻近日点的进动为：

恢复到通常的单位制为

对于水星而言， ，也就是水星每运动一周，轨道近日点进动 ，积累下来每一百年有 进动，实验观测上原来有进动角 得不到解释，广义相对论效应正好与之相符，水星近日点进动的验证，被称为广义相对论最有力的实验证据。 iv84FMemOpyDyRa1rUgzlOjotoIqCkAoOf5MCnvTtFociwxiavPpxaCMIGTMR6e3