第4节
独立性

1.事件的独立性

在实际问题的研究中,如果事件 A 发生的可能性不受事件 B 发生与否的影响,我们认为在概率意义下事件 A 对于事件 B 是没有关系的,即事件 A 独立于事件 B. 显然,若 A 对于 B 独立,则 B 对于 A 也一定独立,即事件 A 与事件 B 相互独立.

定义 1.7　 若事件 A 与 B 满足 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ),则称事件 A 与 B 相互独立.

注 A , B 相互独立与 A , B 互不相容不能同时成立.

定理 1.4　 　 若事件 A 与 B 独立,则下列各对事件

也相互独立.

同理可推得 与 B , 与 也相互独立.

定理 1.5　 若事件 A 与 B 相互独立,且 0 < P (A) < 1,则

定理的正确性由乘法公式、相互独立性定义容易推出.

在实际应用中,还经常遇到多个事件之间的相互独立问题,例如:对三个事件的独立性可做如下定义.

定义 1.8　 若事件 A , B , C 满足

则称 事件 A , B , C 为相互独立事件 .

一般当事件 A , B , C 两两独立时,等式

不一定成立.

例 1.26(伯恩斯坦反例 1)　 一个均匀的正四面体,其第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成蓝色,而第四面同时染上红、白、蓝 3 种颜色.现以 A , B , C 分别记一次正四面体出现红、白、蓝颜色朝下的事件.问事件 A , B , C 两两独立吗?

解 由于在四面体中红、白、蓝分别出现两面,因此

又由题意知

故有

所以,事件 A , B , C 两两独立.

又

所以

事件 A , B , C 两两独立但不是相互独立.

类似的我们可以定义 n 个事件的独立性.

定义 1.9　 设 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 为 n ( n > 2)个事件,若对其任何组合 1≤ i < j < …≤ n ,成立

则称 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 相互独立.

由上述定义,不难推出以下事实:

①如果事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 相互独立,则它们的任意一部分事件换成各自的对立事件后,所得的 n 个事件仍相互独立.

②若事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 相互独立,则其中任意 k (1 < k ≤ n )个事件也相互独立.

推论 1　 若 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 是 n 个相互独立的事件,则

在实际应用中,对于事件的独立性,我们往往不是根据定义来判断,而是根据实际意义来加以判断.

例 1.27　甲,乙,丙 3 部机床独立工作,由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为 0.9,0.8 及 0.85.求在这段时间内有机床需要工人照管的概率.

解 用事件 A , B , C 分别表示在这段时间内机床甲,乙,丙不需工人照管.依题意 A , B , C 相互独立,并且

P ( A )= 0.9, P (B) = 0.8,P(C) = 0.85,则这段时间内有机床需要工人照管的概率为

例 1.28　俗话说:三个臭皮匠赛过诸葛亮.这句话是否有依据?为了解决这个问题,我们让两个队伍进行解题比赛.

诸葛亮:依我的经验,我解出的把握有 80%.

臭皮匠老二:老大,你的把握有 50%,我只有 45%,看来这奖品与咱们无缘了.

臭皮匠老大:二弟别急,咱去把老三叫来,我就不信合咱三人之力,胜不过诸葛亮?

问题:假如臭皮匠老三解出的把握只有 40%,那么这三个臭皮匠有一人解出的把握真能胜过诸葛亮吗?

已知诸葛亮解出问题的概率为 0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为 0.5,老二为 0.45,老三为 0.4,且每个人必须独立解题,问三个臭皮匠能赛过一个诸葛亮吗?

解 设事件 B = {问题被解出}, A _i = {第 i 个臭皮匠解出问题}, i = 1,2,3,

由题意可知

所以,三个臭皮匠能赛过一个诸葛亮.

2.伯努利(Bernoulli)概型

在概率论中,把在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立重复试验概型.进行 n 次试验,若任何一次试验中各个结果发生的可能性都不受其他各次试验结果发生情况的影响,则称这 n 次试验是相互独立的.

假设在每次试验中某事件 A 发生或者不发生,我们可以只取事件 A 与 ,这种只有两个可能结果的试验称为伯努利试验.假设每次试验的结果与其他各次试验结果无关,即在每次试验中 A 出现的概率都是 p (0 < p < 1),这样的一系列重复试验(比如 n 次),称为 n 重伯努利试验.因此, n 重伯努利试验共有两个关键参数,一个是每次试验 A 发生的概率 p ,一个是试验次数 n.

定理 1.6( 伯努利定理 )　设一次试验中事件 A 发生的概率为 p (0 < p < 1),则 n 重伯努利试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率用 P _n ( k )表示,则

其中, q = 1 - p.

例 1.29　一条自动生产线上产品的一级品率为 0.6,现检查了 10 件,求至少有两件一级品的概率.

解 设 B 为事件至少有两件一级品,此为 n = 10 重伯努利试验,事件 A (抽到一级品)的概_率 p = 0.6,则

例 1.30　一个人要开门,他共有 n 把钥匙,其中仅有一把能开这门.他随机地选取一把钥匙开门,即在每次试开时每一把钥匙都以 的概率使用,这人在第 k 次试开时成功的概率是多少?

解 这是一个伯努利试验, A _i =“第 i 次打开门”( i = 1,2,…, n ), p = ,设 B _k =“直到第 k 次试开才成功”,当且仅当在前 k -1 次试开中事件 A _i 不发生( i = 1,2,…, k -1),而第 k 次试开时 A _k 发生,即

利用事件的独立性,有

例 1.31　一张英语试卷,有 10 道选择填空题,每题有 4 个选择答案,且其中只有一个是_正确答案.某同学投机取巧,随意填空,试问他至少填对 6 道题的概率是多大?

解 设 B = “他至少填对 6 道”,每答一道题有两种可能结果: A = “答对”及 = “答错”, ,故做10 道题就是做 10 重伯努利试验, n = 10,所求概率为

人们在长期实践中总结得出“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理).故由本例可知,该同学随意猜测,能在 10 道题中猜对 6 道以上的概率是很小的,在实际中几乎是不会发生的.当然,我们也可以看到该同学 10 道题全部猜错的概率也很小.

小知识

概率的起源

概率的概念起源于中世纪以来的欧洲流行的用骰子赌博,某种情况出现可能性的大小要能够体察并引起研究的兴趣,必须满足两个条件:一是该情况可以在多次重复中被观察其发生与否(在多次重复下出现较频繁的情况有更大的概率),一是该情况发生与否与当事人的利益有关或为其兴趣关注之所在,用骰子赌博满足这些条件.

当时有一个“分赌本问题”曾引起热烈的讨论,并经历了长达一百多年才得到正确的解决.在这过程中孕育了概率论一些重要的基本概念,举该问题的一个简单情况:甲、乙二人赌博,各出赌注 30 元,共 60 元,每局甲、乙胜的机会均等,都是 1 /2.约定:谁先胜满 3 局则他赢得全部赌注 60 元,现已赌完 3 局,甲 2 胜 1 负,而因故中断赌局,问这 60 元赌注该如何分给 2 人才算公平,初看觉得应按 2∶ 1分配,即甲得 40 元,乙得 20 元,还有人提出了一些另外的解法,结果都不正确,正确的分法应考虑到如在这基础上继续赌下去,甲、乙最终获胜的机会如何,至多再赌 2 局即可分出胜负,这 2 局有 4 种可能结果:甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.前 3 种情况都是甲最后取胜,只有最后一种情况才是乙取胜,二者之比为 3∶ 1,故赌注的公平分配应按 3∶ 1的比例,即甲得 45 元,乙 15 元.

当时的一些学者,如惠更斯、帕斯卡、费尔马等人,对这类赌注问题进行了许多研究,有的出版了著作,如惠更斯的一本著作曾长期在欧洲作为概率论的教科书,这些研究使原始的概率和有关概念得到发展和深化.不过,在这个概率论的草创阶段,最重要的里程碑是伯努利的著作《推测术》.

概率论虽发端于赌博,但很快在现实生活中找到多方面的应用,首先是在人口、保险精算等方面,在其发展过程中出现了若干里程碑的《机遇的原理》,其第 3 版发表于 1756 年,法国大数学家拉普拉斯的《分析概率论》,发表于 1812 年.1933 年苏联教学家柯尔莫哥洛夫完成了概率论的公理体系,在几条简洁的公理之下,发展出概率论整座的宏伟建筑,有如在欧几里得公理体系之下发展出整部几何.自那以来,概率论成长为现代数学的一个重要分支,使用了许多深刻和抽象的数学理论,在其影响下,数理统计的理论也日益向深化的方向发展. mfanJO6A+FKBxUGbmtBKIc8VpQ+ChOjN+mxGxezWPNFtJJZEupF+CacuaNn9zcSg