第3节
条件概率与全概率公式

1.条件概率

条件概率是概率论中的一个基本工具,用来计算一些复杂的概率.在引入条件概率的概念之前,先看一个例子.

考察有两个孩子的家庭,它共有 4 种基本结果{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},假定一个孩子为男为女是等可能的,那么上述 4 种基本结果也是等可能的,以 A 表示有一男一女的家庭, B 表示至少有一个女孩的家庭,则 .

定义 1 .6 设 A , B 为两个事件,且 P ( A ) > 0,则称 为事件 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率,记作 ,即

易验证, P ( B | A )符合概率定义 1.5 的 3 条公理,即

①对于任一事件 B ,有 P ( B | A )≥0;

② P ( Ω A ) = 1;

③ ,其中 B ₁ , B ₂ ,…, B _n ,…为两两互不相容事件.

由此可知,已证明的概率结果都适用于条件概率.例如,对于任意事件 B ₁ , B ₂ ,有

又如,对于任意事件 B ,有

例 1.17　市场上供应的灯泡中,甲厂_的产品占 70%,乙厂占 30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂的合格率是 80%.若用事件 A , A 分别表示甲乙两厂的产品, B 表示产品为合格品.试写出有关事件的概率和条件概率.

解 依题意

例 1.18　某电子元件厂有职工 180 人,其中男职工 100 人,女职工 80 人,男女职工中非熟练工人分别为 20 人与 5 人.现从该厂中任选一名职工,则

①该职工为非熟练工人的概率是多少?

②若已知被选出的是女职工,她是非熟练工人的概率又是多少?

解 ①设 A 表示“任选一名职工为非熟练工人”的事件,则

②这个问题增加了一个附加条件,即已知被选出的是女职工,记事件 B 为“选出女职工”,则②就是要求出“在已知事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率”,这就要用到条件概率公式,有

此题也可考虑用缩小样本空间的方法来做.既然已知选出的是女职工,那么男职工就可以排除在考虑范围之外.因此“ B 已发生条件下的事件 A ”就相当于在全部女职工中任选一人,并选出了非熟练工人.这时, Ω _B 中的样本点总数不是原样本空间 Ω 的 180 人,而是全体女职工人数 80 人.上述事件中包含的样本点数是女职工中的非熟练工人数 5 人,因此所求概率为

例 1.19　某科动物出生之后活到 20 岁的概率为 0.7,活到 25 岁的概率为 0.56,求现年为20 岁的动物活到 25 岁的概率.

解 设 A 表示“活到 20 岁以上”的事件, B 表示“活到 25 岁以上”的事件,则有

得

从定义1 .6 可以看出,当 P ( A )> 0 时, .

注 :一般的条件概率 P ( B | A )中的条件 A 是随机的,不是必然发生的.但事件 A 发生后,它就变成了新的必然事件.条件概率 P ( B | A )的计算就是在新的必然事件 A (新的样本空间)的背景下计算的,这种计算方法称为压缩空间法.

2.乘法定理

定理 1.1　 对于任意两个事件 A 与 B ,若 P ( A ) > 0, P ( B ) > 0,则有

乘法定理也可推广到 3 个事件的情况.例如 A , B , C 为三个事件,且 P ( AB ) > 0,则有

相应地,关于 n 个事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 的乘法公式为:

无论是两个事件的乘法定理还是多个事件的乘法定理都是非常重要的,它们可以用来解决许多概率论中较复杂的问题.

例 1.20　一批彩电共有 100 台,其中有 10 台次品,采用不放回抽样依次抽取 3 次,每次抽一台,求第 3 次才抽到合格品的概率.

解 设Ai( i = 1,2,3)为第i次抽到合格品的事件,则有

例 1.21　10 个考签中有 4 个难签,3 人参加抽签(不放回),抽签顺序为甲先,乙次,丙最后.求

①甲抽到难签的概率.

②甲、乙都抽到难签的概率.

③甲没抽到难签而乙抽到难签的概率.

④甲、乙、丙都抽到难签的概率.

解 设事件 A , B , C 分别表示甲、乙、丙各抽到难签,则

这个问题也可以用古典概型的办法来解决.共有 10 个签,3 个人抽签,基本事件总数 n 为10 个签里面拿出 3 个签来作排列,则 . A 表示甲抽到难签,则 A 的样本点数 ,即从 4 个难签中任取一个放在第一个位置,而剩下的 9 个签则排列在剩下的两个位置.因此用这种思路可以知道 P ( B )和 P ( C )也都是 .

事实上,即使这10个签由10个人抽去,其中有4个难签,每个人抽到难签的概率都是 ,与他抽的次序无关.正如 10 万张彩票如果只有 10 个特等奖,10 万个人去抽,无论次序如何,每个人的中奖概率都是万分之一.这在概率论中称为抽签原理.

3.全概率公式和贝叶斯公式

例 1.22　白浅要闭关几天,府上有一盆金莲花需要看管,于是在闭关前交由邻居夜华帮忙照看.如果几天内夜华记得浇水,金莲花存活率为 0.8;如果几天内夜华忘记浇水,金莲花存活率为 0.2,假设白浅对邻居夜华并不了解,即可以认为夜华记得浇水和忘记浇水的概率为0.5,问白浅出关后金莲花存活的概率多大?

解 在问题中设 A = “记得浇水”, = “忘记浇水”刚好构成 Ω 的一个划分.设 B = “金莲花存活”,那么 B 也被 A 和 划分为两个互不相容的两个部分,即 AB 和 由题设可知

因此,金莲花存活的概率为

从形式上看事件 B 是比较复杂的,仅仅使用加法定理或乘法定理无法计算其概率.于是先将复杂的事件 B 分解为较简单的事件 AB 与 ;再利用加法定理与乘法定理结合起来,计算出需要求的概率.将这个想法一般化,得到全概率定理,又称全概率公式.

定理 1.2( 全概率公式 )　若事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 构成样本空间 Ω 一个完备事件组(或划分),并且 P ( A _i ) > 0( i = 1,2,3,…, n ),则对样本空间 Ω 中任意一事件 B ,有

证 由于 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 两两互不相容,因此, A ₁ B , A ₂ B ,…, A _n B 也两两互不相容,且 B = BΩ = B ( A ₁ ∪ A ₂ ∪…∪ A _n )= BA ₁ ∪ BA ₂ ∪…∪ BA _n .利用加法原理和乘法定理有

例 1.23　某地区应届初中毕业生有 70%报考普通高中,20%报考中专,10%报考职业高中,录取率分别为 90%,75%,85%.试求随机调查一名学生,他如愿以偿的概率.

解 设他如愿以偿的事件为 B ,报考普通高中为 A ₁ ,报考中专为 A ₂ ,报考职业高中为 A ₃ ,则 B 的概率为

例用全概率公式,例 1.22 中,如果白浅出关后,发现金莲花还活着,那么夜华“记得浇水”的概率有多大?此概率就相当于求 P ( A B ),由条件概率公式和乘法定理可知

这就得到了另外的一个重要公式——贝叶斯公式.

定理 1.3　 [ 贝叶斯 (Bayes) 公式 ] 若事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 构成样本空间 Ω 一个完备事件组(或划分),并且 P ( B ) > 0, P ( A _i ) > 0( i = 1,2,…, n ),则对样本空间 Ω 中任意一事件 B ,有

此式称为贝叶斯公式 , 也称为逆概率公式 .

证 由条件概率的定义得

对分子用乘法定理,对分母用全概率公式,即得

例 1.24　由以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下效果:

被诊断者有癌症,试验反应为阳性的概率为 0.95.被诊断者没有癌症,试验反应为阴性的概率为 0.95.现对自然人群进行普查,设被试验的人群中患有癌症的概率为 0.005,求已知试验反应为阳性,该被诊断者确有癌症的概率.

解 设 A 表示“患有癌症”, 表示“没有癌症”, B 表示“试验反应为阳性”,则由条件得

由此

由贝叶斯公式得

这就是说,根据以往的数据分析可以得到,患有癌症的被诊断者,试验反应为阳性的概率为 95%,没有患癌症的被诊断者,试验反应为阴性的概率为 95%,都称为先验概率.而在得到试验结果反应为阳性,该被诊断者确有癌症重新加以修正的概率 0.087 称为后验概率.此项试验也表明,用它作为普查,正确性诊断只有 8.7%(即 1 000 人具有阳性反应的人中大约只有87 人的确患有癌症),由此可看出,若把 P ( B | A )和 P ( A B )搞混淆就会造成误诊的不良后果.

注 :在使用全概率公式和贝叶斯公式的题型中,关键的一步是要使用一完备事件组.最常用的完备事件组是 A 与 构成的完备事件组,这时

例 1.25　在一个初冬大雾天的下午六点左右发生了一起交通事故,肇事车是本市一辆出租车,该车早已逃逸.有一个目击者认定是一辆绿色出租车,若你是交警,你能确信目击者的证言吗?

解 假定经调查该市有红、绿两种颜色的出租车,其中绿色占 17%,红色占 83%.通过测试可知,目击者将红色看成红色的概率为 0.8,将红色看成绿色的概率为 0.2.将绿色看成绿色的概率为 0.9,将绿色的看成红色的概率为 0.1.用贝叶斯公式可判断目击者证言可信度的大小.设事件 A 表示出租车是绿色的,则事件 A 表示出租车是红色的.事件 B 表示肇事出租车确实是绿色的,则

由贝叶斯公式可得

根据计算,在这种情形下目击者尽管说的是真话,但他判断正确的概率也只有 0.48,所以交警要想破案,还得收集更有力的证据. Ryp65L2T3fZYxSEv3lQVKXSm0AzWEvVFeJ6cOPq3sl09s8JHsiemsvhbtvQwinej