概率论与数理统计最新章节_赵雪芬著

第1节
随机事件及其运算

1.随机现象

当我们观察自然和人类社会中各种事物的变化规律时,会发现两种不同类型的现象,一种我们称之为必然现象 (或确定性现象),它在一定条件下必然会出现某个结果.例如,在标准大气压下,水加热到 100℃时必然沸腾;同性电荷相互排斥;纯粹自由竞争的市场上,商品供应量的增大,必然引起价格的下落;太阳总是从东方升起;生物总是要经历生长、发育、衰老直至死亡各个阶段等.这种在一定条件下必然发生的事情称为必然事件 .反之,在一定条件下,必然不会发生的事情就称为不可能事件 .例如,在一个标准大气压下,没有加热到 100℃的水是不可能沸腾的.

必然事件和不可能事件虽然表现形式不同,但两者的本质是一样的.必然事件的反面就是不可能事件,而不可能事件的反面就是必然事件,必然事件和不可能事件组成必然现象.自然界中的很多现象是必然现象,概率论以外的数学分支研究的就是必然现象的数量规律.

除了必然现象以外,在自然现象和社会现象中还存在着与它有着本质区别的另一类现象.例如,在城市交通网中的某一路口,指定的 1 h内,汽车流量的多少就是一个随机现象;检查某商店各柜台未来一天的营业额,事先无法确定各柜台营业额的大小;金融领域中事先无法断言将来某一时刻某证交所的指数;同一天生产线上用同样的工艺生产出来的灯泡寿命长短也呈现出偶然性;做种子发芽试验,在同样的土壤和气温、技术等条件下,同一品种的种子有的发芽,有的不发芽,对某一粒种子来说,上述相同条件下“种子发芽”这个现象可能发生也可能不发生;车站候车室同一时间段候车人数不尽相同.概率论中最经典的例子就是向上掷一枚硬币,结果可能是正面也可能是反面,事先无法断定.这些现象的结果预先是不能确定的,也就是说有偶然因素在影响,使得这些现象在一组相同的条件下不可能有确定的结果,这种现象只能用非确定性的判断来表达,我们称之为随机现象.

那么,这些由偶然因素起作用的现象是否有规律呢?透过现象看本质,这类现象也有它的内部规律性.恩格斯指出,在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律.为了揭示随机现象蕴含着的内部规律性,常常采用统计方法,即在大量重复同一个实验的情况下就可以发现随机现象发生的统计规律性.概率论正是一门研究随机现象的规律性的学科.

2.样本空间与随机事件

我们为了揭示随机现象的内部规律性,就要对客观事物进行实验或观察.这种带有明确目的性对随机现象进行的实验或观察的过程称为随机试验 (random trial),简称试验,通常用字母 E 表示.概率论里所讨论的试验具有如下特点:

①可以在相同条件下大量重复进行.

②每次试验的可能结果不止一个,但试验之前可以明确试验的所有可能出现的结果.

③进行每一次试验前,不能准确预知该次试验将出现其中哪一个结果.

例 1.1 E ₁ :抛掷一枚硬币,观察正反面情况.这个试验在相同条件下可重复抛掷多次,抛掷的结果有“正面”“反面”两种可能,但在每一次抛掷之前不知该结果是“正面”还是“反面”.

E ₂ :观察某储蓄所一天的存款户数.这个试验的所有可能结果有 N + 1 个,分别是 0 户、1户、2 户、…、 N 户,其中 N 表示某个正整数,但某一天的存款户数在未观察前是不能预知的.

E ₃ :测量一个灯泡的使用寿命.可能值是[0, t ]( t 为某个实数)之间的任何一个实数,但每一次测量结果是不能预先知道的.

我们把随机试验的每一个可能结果称为样本点,用 ω 表示;样本点全体组成的集合称为样本空间(sample space),用 Ω 表示.在具体问题中,给定样本空间是描述随机现象的第一步.下面我们来看几个常见的随机试验:

①掷一颗骰子为一个试验,则有 6 个可能的试验结果,1 点,2 点,3 点,4 点,5 点和 6 点,因此样本空间为

②一枚硬币掷两次作为一次试验,将两次试验结果排序,则共有 4 种可能的结果:(反,反),(反,正),(正,反),(正,正),因此样本空间

③评价某学校小学生的健康状况,需要同时测量小学生的身高、体重和胸围,在这一随机试验中,任一可能结果(样本点)是一个有序数组( x , y , z ),其中 x , y , z 分别代表被测学生的身高、体重、胸围,因此样本空间为

从以上例子可以看出,随着所考察的随机试验的不同,相应的样本空间可能很简单,也可能很复杂.

在试验①中,若现在用 A 表示“出现点数小于等于 3”,则 A = {1,2,3}.那么 A 是由 3 个样本点所组成的集合,按照这种思路来定义随机事件.

定义 1.1　随机事件(random event)是样本空间 Ω 的子集,或者说随机事件就是符合某些条件的试验结果的集合,通常用大写英文字母 A , B , C ,…表示.

例 1.2　将一枚硬币掷两次,事件 A = “至少一次正面朝上”包括 3 个样本点(正,反),(反,正),(正,正).也可以表示为 A = {(正,反),(反,正),(正,正)}.

②将一粒骰子投掷两次,事件 B = “两次点数相同”,则:

定义 1.2　将实验结果更换为样本点.在每次试验中,当且仅当事件中所包含的某一个样本点出现,称这一事件发生.

在例 1.2②中,如果一颗骰子掷两次出现的点数是(3,3),则称事件 B 发生了;如果出现的点数是(1,3),则事件 B 没有发生.

下面介绍几种特殊的事件:

(1)基本事件

只含有一个试验结果(样本点)的事件称为基本事件.

(2)必然事件

每次试验必然发生的事件,称为必然事件,它是包含样本空间 Ω 所有样本点的事件,用 Ω 表示.

(3)不可能事件

每次试验一定不会发生的事件,称为不可能事件,它是不包含任何样本点的事件,用φ表示.

例 1.3　掷一粒骰子的试验中: A ₁ 表示“出现的点数是 2”这个事件, A ₂ 表示“出现的点数是 4”, A ₃ 表示“出现的点数是 6”,它们都是基本事件; B 表示“出现的点数小于 7”这个事件,显然它是一个必然事件 . C 表示“出现的点数大于等于 7”这个事件,它是不可能事件.

注 ①必然事件和不可能事件有着紧密的联系,必然事件的反面事件一定是不可能事件.如“出现的点数小于 7”的反面事件为“点数不小于 7”.

②无论是必然事件、不可能事件还是随机事件,都是相对于一定的试验条件而言的,如果试验条件改变了,则事件的性质也就发生了变化.

3.事件的关系及其运算

事件是一个集合,事件与集合的对应关系见表 1.1.甚至,事件之间的关系与运算可以用集合之间的关系与运算来处理.

表 1.1 事件与集合的对应关系

下面讨论事件之间的关系及其运算.

(1)事件的包含

如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生,即属于 A 的每一个样本点都属于 B ,则称事件 B 包含事件 A 或称事件 A 包含于事件 B ,记作 B ⊃ A 或 A ⊂ B.

A ⊂ B 的等价说法是,如果 B 不发生,则 A 也不会发生.

对于任何事件 A ,有φ⊂ A ⊂ Ω.

若 A ⊂ B 且 B ⊃ A ,则称事件 A 与 B 相等(或等价),记作 A = B.

(2)事件的并(和)

两个事件 A , B 中至少有一个发生,称为事件 A 与 B 的并事件或和事件,它是属于 A 与 B 的所有样本点构成的集合,记作 A ∪ B.

对任一事件 A ,有

事件的并可推广到多个随机事件的情形:

表示“ A ₁ , A ₂ ,…, A _n 中至少有一个事件发生”这一事件.

表示“可列无穷多个事件 A _i 中至少有一个发生”这一事件.

(3)事件的交(积)

两个事件 A 与 B 同时发生,称为事件 A 与 B 的交事件或积事件.它是由 A 与 B 的所有公共样本点构成的集合,记作 AB 或 A ∩ B.

对任一事件 A ,有

表示“ B ₁ , B ₂ ,…, B _n n 个事件同时发生”这一事件.

表示“可列无穷多个事件 B _i 同时发生”这一事件.

(4)事件的差

事件 A 发生而事件 B 不发生,称为事件 A 与 B 的差.它是由属于 A 但不属于 B 的那些样本点构成的集合,记作 A - B.

由事件差的定义,立即得到:

对任一事件 A ,有

(5)互不相容(或互斥)事件

如果事件 A 与 B 不能同时发生,即 AB = φ,称事件 A 与 B 互不相容(或称事件 A 与 B 互斥).从定义可以看出,互不相容事件 A 与 B 没有相同的样本点.

显然,基本事件间是互不相容的.

如果一组事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n ,…中任意两个事件都是互不相容的,即 A _i A _j = φ( i ≠ j , i , j =1,2,…),则称事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n ,…两两互不相容.

(6)对立事件

若 A ∪ B = Ω 且 A ∩ B = φ,则称事件与 B 互为对立事件(逆事件).它是由样本空间中所有不属于 A 的样本点组成的集合,记作

显然有

由互不相容事件和对立事件的定义可知,事件 A 与 B 若为对立事件,则它们一定是互不相容事件;反之不一定成立.

(7)完备事件组

若事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 为两两互不相容事件,即 A _i A _j = φ( i ≠ j , i , j = 1,2,…, n )并且 A ₁ ∪ A ₂ ∪…∪ A _n = Ω ,称 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 构成一个完备事件组或构成样本空间的一个划分.该定义可推广到可数个随机事件的情形:若事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n ,…为两两互不相容事件,即 A _i A _j = φ( i ≠ j , i , j = 1,2,…)且 A ₁ ∪ A ₂ ∪…∪ A _n … = Ω ,称可数个事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n ,…构成一个完备事件组或构成样本空间的一个划分.