第12课
小数字大学问
（进制）

加法中有进位，那是一种计数方法，我们把这种带有进位的计数方法称为“进制”。

脑洞大开

想一想我们身边都有哪些进制？

十进制 是我们最常用的进制。看看我们的手指，十进制的发明跟我们人类有10个手指有关。小时候，我们也习惯用手指来帮助计数。

还有 六十进制 ，时间的表示中广泛使用了六十进制，一小时=60分钟，一分钟=60秒，60秒进位1分钟，60分钟进位1小时。

还有 二十四进制 ，24小时就是一天； 十二进制 ，12个月就是一年；等等。开动脑筋想想还有什么进制？

提出思考

既然人类习惯使用十进制，那为什么发明的计算机要使用二进制呢？

提问是发明创造的开始。当初首先想到的应该是十进制，那用什么方式来表示不同的数字呢？

计算机是需要用电的，因此想到了电压，不通电时的电压0伏特表示数字0，通电后的电压1伏特表示1，2伏特表示2……10伏特表示10。看上去特别棒，但是电器件在使用过程可能会老化，同时外部环境也可能导致电压不是那么标准。当电压出现了2.5伏特时，到底表示的是2还是3呢？

再思考一下，拉开数字之间的电压差距之后会怎样呢？假设将10伏特算作1，以10伏特为中心电压差距正负10内也都算作1，也就是0~20伏特的电压范围都算作1，那么这样来表示数字9，估计电压快要到200伏特了。

那有没有更好的办法呢？当然有，二进制由此诞生，只需要通电和不通电就可以解决，有电压表示1，没电压表示0，从此不需要那么纠结了。

进制转换

运行程序，输入：

     17

输出结果为：

     八进制：21
     十进制：17
     十六进制：11

（1） printf("八进制：%o\n十进制：%d\n十六进制：%x",num,num,num) ：将输入的十进制数字按照八进制、十进制、十六进制分别输出。

（2） %o 按八进制输出， %d 按十进制输出， %x 按十六进制输出。

（3） \ 是转义符， \n 表示回车换行。因此一行的内容被分成了3行。

划重点

输入数字17，按照不同的进制输出了不同的结果。从我们最熟悉十进制开始，一起研究一下进制。

①熟悉的 十进制 ：

11、12、13、14、15、16、17

②再看看 八进制 ：

这里的20，拆分成进位的2和数字0，也就是十进制的数字16 = 2 × 8。

继续计数。

21

八进制的21对应的是十进制的17。

③现在攻克 十六进制 ：

十六进制可以一直数到15呢，但是需要用字母替代。

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、a（十进制的10）、b（十进制的11）、c（十进制的12）、d（十进制的13）、e（十进制的14）、f（十进制的15）。

11

加1得到的十六进制数值11就对应十进制的数值17啦！这里的11拆成1和1，第一个1代表十进制16。

敲黑板

①探寻进制的奥秘，拆解十进制数字2023。

在十进制里面只有数字0~9，当继续计数就需要进位，这时10就诞生了。

10

100

1000

十进制的规则就是满十进一，进1位相当于×10，进2位就是×10×10，进3位就是×10×10×10。

现在一起来拆解2023吧。

2×10×10×10 + 0×10×10 + 2×10 + 3 = 2023

②探寻八进制的365。

八进制中的10，在十进制中就是1×8 + 0 = 8。

八进制中的100，在十进制中就是1×8×8 + 0×8 + 0 =64。

现在来拆解八进制的365。

十进制转八进制

将十进制转换成其他进制有一种通用的方法：短除法。

来吧，试试将十进制数字275转换成八进制数。

（1）使用短除法不断地除以8，直到商为0。

（2）将余数倒序组合起来，即将4、2、3拼接起来。

（3）得到八进制结果423。

这就是使用短除法进行进制转换的过程。

提出思考

为什么短除法就可以将十进制转成其他进制呢？

十进制的275转换成八进制是423。

进制是逢几进一，这是进制的规则，因此八进制的423也遵循这个规则，逢八进一。

从423变成十进制，这个我们之前已经探索了。

4 × 8 × 8 + 2 × 8 + 3

下面对比一下进制转换的过程。

假设我们将八进制转换成十进制视为一种顺向思维，那么十进制转换回八进制就可以运用逆向思维来思考。

现在你知道为什么短除法可以将十进制转换成八进制了吗？

通过乘得到的答案，再通过除回去，就这么简单。

乘了几个8，反过来就需要除以几个8。

提出思考

怎么没有二进制呢？

printf( ) 没有转换成二进制的格式。但是我们依然可以运用之前学习过的循环来实现。

（1）把二进制数101转换成十进制数：

●

●

●

将计算结果相加：4 + 2 +1 = 7。

（2）十进制118转换成二进制数：

直到商为0，将余数倒序连接起来，为1110110。

十进制转二进制

翻译助力理解

● pause：暂停。

（1）使用 while (true){ } 不断进行短除法。

（2）短除法分为两步，第一步求余数 binary = num % 2 ，第二步求商 num =num / 2 。

（3） cout << binary << " 商为：" << num 表示每一步都将结果输出。

（4） system("pause") 表示暂停程序，等待按键继续执行程序，便于我们观察和推进短除法。

运行程序，输入数字：

     21

输出结果为：

     1  商为：10请按任意键继续. . .
     0  商为：5请按任意键继续. . .
     1  商为：2请按任意键继续. . .
     0  商为：1请按任意键继续. . .
     1  商为：0请按任意键继续. . .

观察结果，当商为0时，程序不用继续执行，将余数从下往上组合起来，即可得出十进制数21对应的二进制数10101。

敲黑板

研究程序最好的方式就是跟随程序步骤逐一分析。

巩固练习

（1）将十进制数42转换为二进制数，得到的结果是（　）。

A．001010

B．101010

C．010101

D．110101

（2）八进制数系统中包含的数字范围是0到7。（　）√（　）×

（3）请编写一个程序，接收用户输入的十进制整数，将它转换为八进制数和十六进制数，并输出结果。

探索思考

如果程序能在转换完成后自动停止那该多好，这就省去了观察商变化的时间。

阅读以下代码，思考一下为什么改成 num > 0 后，程序就自动停止了呢？

划重点

while ( ) { } 的圆括号里面的 true 变成了 num > 0 ，条件发生了变化，之前的 true 表示条件一直成立， num > 0 表示只有num大于0条件才成立，那么当商为0时，条件不成立，循环也就不继续了。

拓展探索

之前说到 printf( ) 没有二进制的输出格式，现在阅读以下代码学习一下如何快速进行进制转换。

（1） cout << "二进制表示：" << bitset<sizeof(int) * 4>(num) << endl ：这行代码用于将num以二进制表示。它使用了bitset类，将整数num转换为一个包含二进制的字符串，并输出到标准输出流cout中。 sizeof(int) * 4 用于指定二进制字符串的长度，将4分别改成2和8，运行程序观察字符串长度的变化。

（2） cout << "八进制表示：" << oct << num << endl ：表示使用 oct 控制符将整数num以八进制格式输出。

（3） cout << "十六进制表示：" << hex << num << endl ：表示使用 hex 控制符将整数num以十六进制格式输出。 aXtavob6u834i53VnLBNaLA99y1Dx4i7ntW0HmdZscKDpXMBGZX7EPbTpSZ9nlqL