第一章
帽子问题

帽子问题又称帽子颜色问题，是比较经典而又非常有趣的逻辑题之一。

下面是一个经典的问题及答案。

有3顶红帽子和2顶白帽子。现在将其中3顶给排成一列纵队的3个人，每人戴上1顶，每个人都只能看到自己前面的人的帽子，而看不到自己和后面的人的帽子。同时，3个人也不知道剩下的2顶帽子的颜色（但都知道他们3个人的帽子是从3顶红帽子、2顶白帽子中取出的）。

这时，有人分别问这3个人是否知道自己戴的帽子的颜色。先问了站在最后边的人，他说不知道。接着又让中间的人说出自己戴的帽子的颜色，这个人虽然听到了后边那人的回答，但仍然说不出自己戴的是什么颜色的帽子。听了他们两人的回答后，最前面的人等别人刚问完，便答出了自己帽子的颜色。

请问最后回答的人怎么知道了自己帽子的颜色？他的帽子又是什么颜色的呢？

答案： 首先假设从前到后的3个人分别为甲、乙、丙。丙看了甲、乙戴的帽子说不知道，说明甲、乙不可能都戴了白帽子，因为只有2顶白帽子，如果甲、乙都戴了白帽子，丙一定知道自己戴了红帽子。同理，乙又说不知道，说明甲戴的不是白帽子，因为乙根据丙的回答和甲戴的帽子，无法判断出自己戴的是那种帽子，如果甲戴的是白帽子，那么他肯定知道自己戴的是红帽子。如此一来，甲戴的肯定是红帽子，因此，甲经过逻辑推理就知道自己戴的是红帽子。

类似这种猜帽子颜色的问题还有很多，都是由此变形扩展而来的。此类问题可以很好地锻炼我们的逻辑思维能力，尤其是及时对信息进行汇集与整理，这在我们的思维过程中是非常重要的。此类问题的解题关键在于要弄清楚别人是如何想这类问题的，并懂得如果别人回答不知道时能推导出哪些结论，等等。

以上问题可以推广成如下形式。

“有若干颜色的帽子，每种颜色的又有多顶。假设有多个人从前到后站成一排，让他们每个人戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，而且每个人都看得见在他前面的所有人戴的帽子的颜色，却看不见他自己和后面的任何人戴的帽子的颜色。现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子的颜色，如果他回答不知道，就继续问他前面那个人。一直往前问，那么一定有一个人知道自己所戴帽子的颜色。”

要想使该题目有解，还要满足以下这些特定的条件。

（1）帽子的总数一定要大于人数，否则帽子不够戴。当然，数字也要设置得合理，帽子比人数多得太多，或者队伍里只有一个人，那他是不可能说出自己戴的帽子的颜色的。

（2）应该一共有多少种颜色的帽子，每种有多少顶，有多少人，这些基本信息是队列中所有人都事先知道的。

（3）剩下的没人戴的帽子都被藏了起来，队伍里的人谁也不知道剩下了哪些颜色的帽子。

（4）他们的视力都很好，能看到前方任意远的地方，也不存在被谁挡住的问题。而且所有人都不是色盲，可以清楚地分辨颜色。

（5）不能作弊，后面的人不能和前面的人说悄悄话或者打暗号。

（6）他们每个人都足够聪明，逻辑推理能力都是极好的。只要理论上根据逻辑可以推导出来结论，他们就一定能够推导出来。相反，如果他们推不出自己头上帽子的颜色，只会诚实地回答“不知道”，绝不会乱说，或者试图去猜。

举一个例子：假设现在有 n 顶黑帽子， n －1顶白帽子， n 个人（ n >0）。

排好队伍并戴好帽子之后，问排在队伍最后面的人头上的帽子是什么颜色时，在什么情况下他会回答“知道”？很显然，当他前面的所有人（ n－ 1人）都戴着白帽子的时候，因为 n－ 1顶白帽子用完了，自己只能戴黑帽子。只要前面至少有一个人戴着黑帽子，他就无法知道自己头上帽子的颜色。

现在假设最后一个人回答“不知道”，那么我们开始问倒数第二个人。根据最后一个人的回答，倒数第二个人同样可以推理出上面的结论，即包括自己在内的前面所有人至少有一个人戴着黑帽子。如果他看到前面的人戴的都是白帽子，那么很显然，自己戴的必定是黑帽子；如果他看到前面仍然至少有一个人戴着黑帽子，那么他的回答必定还是“不知道”。

这个推理过程可以一直持续下去。当某一个人（除了最前面的一个）看到前面所有人都戴着白帽子时，他的回答就应该是“知道”；如果到了第二个人依然回答“不知道”，那么说明第二个人看到的还是一顶黑帽子，此时最前面的人就可以知道自己戴的帽子的颜色了。

除了队列最前面的一个人外，其余每个人的推理都是建立在他后面那些人的推理之上的。当一个人断定某种颜色的帽子一定在队列中出现，而他身后的所有人都回答“不知道”，即这些人都看见了这种颜色的帽子，但他却看不到这种颜色的帽子时，那么一定是这个人戴着这种颜色的帽子。这就是帽子颜色问题的关键！ TDqJKjMijkpsHd4oW2dKuIuwnSK3GjGuU7HRt8qz+9yV3puVIxBopCO1pM5erHYm