2.3 资金等值计算

2.3.1 普通复利公式

资金的时间价值使得金额相同的资金发生在不同时间，其价值不相等；反之，不同时点、数值不等的资金在时间价值的作用下，却可能具有相等的价值。这些不同时期、不同数额但其“价值等效”的资金称为等值，又称为等效值。

任何经济技术方案在实施过程中，都有一个时间上的延续过程，由于资金时间价值的存在，使不同时点上发生的现金流量无法直接进行比较，而必须通过两个方案资金时间价值计算（即等值计算）以后，才能进行评价和比较。

在考虑资金时间价值、分析研究资金运动以及进行等值计算时，需明确以下几个基础概念和符号：

①折现或贴现：把将来某一时点的资金金额换算成现在的等值金额的过程，称为折现或贴现。

②现值（ P ）：表示资金发生在某一特定时间序列起始点上的价值。在工程经济分析中，它表示发生在现金流量图中 0 点的资金或投资项目的现金流量折算到 0 点时的价值。

③终值（ F ）：表示资金发生在某一特定时间序列终点上的价值。在工程经济分析中，终值是指期初投入或产出的资金转换为计算期末的期终值，即期末本利和的价值。

④年金或年值（ A ）：指各年等额收入或支付的金额，通常以等额序列表示，即在某一特定时间序列期内，每隔相同时间收支的等额款项。

⑤利率或折现率（ i ）：在工程经济分析中，把根据未来的现金流量求现在的现金流量时所使用的利率称为折现率。本书中，利率和折现率均用 i 表示。

⑥计息周期数（ n ）：也称为计息期，在工程经济分析中，指项目从开始投入资金（开始建设）到项目的寿命周期终结为止的整个期限内的计息次数，通常以“年”为单位。

1）复利法资金等值计算的基本公式

（1）一次支付终值公式（已知P求F）

若一项资金 P 按照年利率 i 进行投资，求解 n 年后与之等值的终值，即期初一次投入的现值为 P ,求 n 期末能取出的本利和，也就是已知 P 、 i 、 n ,求终值 F ,其现金流量图如图 2.2 所示。一次支付终值公式如下：

式中 （1+ i ） ⁿ ——一次支付终值系数，记为（ F/ P , i , n ）。

在实际应用中，为了计算方便，按照不同的利率 i 和计息期 n 的值，分别计算出（1+ i ） ⁿ 的值，排列成一个表，称为复利系数表。在计算过程中，可根据 i 和 n 的值，查表得出一次支付终值系数，然后与 P 相乘即可求出 F 的值。

【 例 2.4 】 某企业向银行贷款100 万元，贷款利率为8%，两年末应还银行的本利和是多少？

【 解 】 F = P （1+ i ） ⁿ = 100×（1+8%） ² = 116.64（万元）

或者通过查表计算。

F = 100 × （F/ P,8%,2）

查表得（ F/ P ,8%,2）= 1.166 4。

则 F = 100×（ F/ P ,8%,2）= 100×1.166 4 = 116.64（万元）

（2）一次支付现值公式（已知F求P）

由式（2.6）即可求出现值 P :

式中 （1+ i ）- ⁿ ——一次支付现值系数，记为（ P / F , i , n ），也可查表得出系数值。

它的经济含义即若希望在 n 年后得到一笔资金 F ,在年利率为 i 的情况下，现在应投资多少？从式（2.7）可知一次支付终值系数和一次支付现值系数互为倒数。

【 例 2.5 】 某公司计划两年后购买一台价值 116.64 万元的设备，已知存款年利率为8%，现在需存入银行的资金为多少？

【 解 】 P = F （1+ i ）- ⁿ = 116.64×（1+8%） ^-2 = 100（万元）

或者通过查表计算。

P = F（P / F,i,n） = F（P / F,8%,2）

查表得（ P / F ,8%,2）= 0.857 3。

则有 P = F （ P / F ,8%,2）= 116.64×0.857 3 = 100（万元）

（3）等额支付终值公式（已知A求F）

在经济评价中，若连续在若干期的期末支付等额的资金，计算最后期末所积累起来的资金。如从第一年到第 n 年，逐年年末等额资金存入银行，到第 n 年末一次取出，即已知 A 、 i 、 n ,求 F ,类似于日常储蓄中的零存整取，其现金流量图如图 2.3 所示。

在年利率为 i 的情况下, n 年内每年年末投入 A ,到 n 年年末积累的终值 F 等于各等额年金 A 的终值之和。

将等额序列资金视为 n 个一次支付的组合，利用一次支付终值公式可推导出等额支付终值公式：

F = A + A（1 + i） + A（1 + i） ² + A（1 + i） ³ + A（1 + i） ⁴ + …+ A（1 + i） ^{n- 1}

= A[1 + （1 + i） + （1 + i） ² + （1 + i） ³ + （1 + i） ⁴ + …+ （1 + i） ^{n- 1} ]

= A

式中 ——等额支付终值系数，记为（ F/A , i , n ），其数值也可以从相应的复利系数表中直接查出。

【 例 2.6 】 某人如果从 2018 年 1 月开始，每年年末存入银行 200 元，年利率为 6%，连续存 5 年，则 5 年后累计存款为多少？

【 解 】 已知 A = 200 元, i = 6%, n = 5,则

F = A（F/A,i,n） = 200 × （F/A,6%,5）= 200 × 5.637 1 = 1 127.42（元）

（4）等额支付偿债基金公式（已知F求A）

为了筹集未来 n 个计息期后需要的一笔偿债资金，在利率为 i 的情况下，求每个计息期末应等额存储的金额，即已知 F 、 i 、 n ,求 A ,是等额支付终值的逆运算。等额支付偿债基金公式如下：

式中 ——偿债基金系数，记为（ A / F , i , n ），与等额支付终值系数（ F/A , i , n ）互为倒数。

【 例 2.7 】 某公司在第 5 年末要偿还一笔 50 万元的债务资金，按照年利率为 2.79%计算，该公司从现在起连续 5 年每年年末应向银行存入多少资金，才能使其本利和正好偿还这笔债务？

【 解 】 已知 F = 50 万元, i = 2.79%, n = 5,则

A =F = 50× = 9.458（万元）

（5）等额支付资金回收公式（已知P求A）

期初一次投资金额为 P ,欲在 n 个计息期内将投资全部收回，则在利率为 i 的情况下，求每个计息期末应等额回收的资金。即已知 P 、 i 、 n ,求 A ,其现金流量图如图 2.4 所示。

等额支付资金回收公式可根据偿债基金公式 A = F 和一次支付公式 F = P （1+ i ） ⁿ

推导出：

式中 ——等额支付资金回收系数，记为（ A / P , i , n ）。

【 例 2.8 】 某项目投资 100 万元，如果以年利率 10%计划在 5 年内把本利和在每年年末按相等的数额回收，则每年可以回收的金额为多少？

【 解 】 已知 P = 100 万元, i = 10%, n = 5,则

A =P = 100× = 26.38（万元）

或者查表得（ A / P ,10%,5）= 0.263 8,则

A = 100 × （A / P,10%,5）= 100 × 0.263 8 = 26.38（万元）

（6）等额支付现值公式（已知A求P）

在 n 个计息期内，每期末等额收支一笔资金 A ,则在利率 i 的情况下，求此等额资金收支的现值总额，即已知 A 、 i 、 n ,求 P ,是等额支付资金回收的逆运算。等额支付现值公式如下：

式中 ——等额支付现值系数，记为（ P /A , i , n ），与等额支付资金回收系数互为 i （1+ i ） ⁿ 倒数。

【 例 2.9 】 某公司投资一项目，希望建成后 6 年内收回全部贷款的本利和，估计每年能盈利 100 万元，银行贷款年利率为 5.76%，则该项目的总投资为多少？

【 解 】 已知 A = 100 万元, i = 5.76%, n = 6,则

P = A = 100 × = 495.46（万元）

一次支付终值公式、一次支付现值公式、等额支付终值公式、等额支付偿债基金公式、等额支付资金回收公式、等额支付现值公式是 6 个常用的基本公式，见表 2.5。

2）注意问题

在运用公式计算时应注意下列问题：

①现值 P 是指发生在某一项目分析期期初的现金流量，终值 F 是指发生在项目分析期期末的现金流量，等额资金 A 是指发生在分析期内各计息期期末的等额现金流量。

②公式之间存在内在联系，一些公式互为逆运算，其系数互为倒数。用系数表示如下：

③现金流量图可以清晰、准确地反映方案的现金流量情况，确定计算期数。运用公式进行资金的等值计算时，要正确绘制现金流量图，充分利用现金流量图进行分析。

2.3.2 名义利率与实际利率

在复利计算法中，一般采用年利率。若利率为年利率，实际计息周期也是以年计算，这种年利率称为实际利率；若利率为年利率，而实际计息周期小于一年，如每月、每季度或每半年计息一次，这种年利率就称为名义利率。因此，名义利率可以定义为计息周期利率乘以每年计息的周期数。

1）名义利率

名义利率的计算公式为：

式中 r ——名义利率；

i ₀ ——计息周期利率；

m ——每年计息周期数。

例如，按月计算利息，月利率为 1%，也可描述为“年利率为 12%，每月计息 1 次”，年利率12%则被称为名义利率。很显然，计算名义利率时忽略了前面各期利息再生的因素，这与单利的计算相同。

2）实际利率

实际利率是指采用复利计算的方法，把各种不同计息周期的利率换算为以年为计息周期的利率。

【 例 2.10 】 现存入银行 1 000 元，月利率为 1%，按月复利，则一年后本利和为多少？利息为多少？

【 解 】 F = 1 000×（1+1%） ¹² = 1 127（元）

I =F-P = 1 127-1 000 = 127（元）

根据式（2.2）利率 i = ×100%，可以推导出：

年利率 i = ×100%= ×100%= ×100%= 12.7%

即从经济效果上来说，“月利率 1%，按月复利”等同于“年利率为 12.7%，按年计息”。此时，计算出的年利率 12.7%则为年实际利率。

3）名义利率和实际利率的关系

通过例 2.10 中年实际利率的计算过程，可归纳出年实际利率与计息周期利率的关系如下：

式中 i _eff ——年实际利率；

i ₀ ——计息周期利率；

m ——每年计息周期数。

根据式（2.12）可知，计息周期利率 i ₀ = ，则有 m

式中 i _eff ——年实际利率；

r ——名义利率；

m ——每年计息周期数。

①当 m = 1 时, i = r ,即实际利率等于名义利率；

②当 m >1 时, i > r ,且 m 越大，即一年中计算复利的次数越多，二者相差就越大。

【 例 2.11 】 某公司存入银行 10 万元，年利率为 2.79%，存期 5 年，按复利法每半年计息一次，则存款到期后复本利和为多少？

【 解 】 已知 P = 10 万元, r = 2.79%, m = 2, n = 5。

按年实际利率计算，则

i = -1 = -1 = 2.81%

F =P（1+i） ⁿ = 10×（1+2.81%） ⁵ = 11.486（万元）

按计息周期利率计算，则

F = = 10× = 11.486（万元） 85tFFJya6X32kQwI/fcTH8oaeTGjZxeXt+fDinQMUm4Z/awhrZDHZJ/ed7BRCUlF