三、能力提升

1.投掷 3 枚大小相同且厚薄均匀的硬币，观察它们出现的面.

（1）试写出该试验的样本空间；

（2）试写出下列事件所包含的样本点： A ＝｛最多出现一个正面｝， B ＝｛至少出现一个正面｝， C ＝｛出现一个反面，两个正面｝；

（3）如记 A _i ＝｛第 i 枚硬币出现正面｝， i ＝ 1，2，3，试用 A ₁ ， A ₂ ， A ₃ 表示事件 A ， B ， C .

2.袋中 10 个球，分别编有号码 1—10，从中任取一球，设 A ＝｛取的球的号码是奇数｝， B ＝｛取的球的号码是偶数｝， C ＝｛取的球的号码不小于 5｝，问下列运算表示什么事件：

（1） A ∪ B ；（2） AB ；（3） BC ；（4） AC ；

（5） ；（6） ；（7） ；（8） B － C .

3.设 A ， B 为两个事件，指出下列等式中哪些成立，哪些不成立？

（1） A ∪ B ＝ ；

（2） ＝ Ø；

（3）（ A － B ）∪ B ＝ A ；

（4） A － B ＝

4.从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？

5.设袋中有红、白、黑球各一个，从中有放回地取球，每次取一个，直到 3 种颜色的球都取到时停止，求取球次数恰好为 4 的概率.

6.设甲船在 24 h内随机到达码头，并停留 2 h；乙船也在 24 h内独立地随机到达码头，并停留 1 h，求：

（1）甲船先到达的概率 P ₁ ；

（2）两船相遇的概率 P ₂ .

7.向区间［0，1］上任投两点，求两点之间的距离小于 0.5 的概率.

8.设 A ， B 是两个随机事件，且 0＜ P （ A ）＜1，0＜ P （ B ）＜1，如果 P （ A B ）＝ 1，求 .

9.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机地拨号，问拨号不超过 3 次而接通所需电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

10.一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率是 p ；若第一次及格，则第二次及格的概率也是 p ；若第一次不及格，则第二次及格的概率是 .

（1）若至少有一次及格，则他可取得某种资格，求他取得该资格的概率.

（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率.

11.设 A ， B 是两个随机事件，且 P （ B ）＞0， P （ A B ）＝ 1，证明 P （ A ∪ B ）＝ P （ A ）.

12.5 个阄，其中两个阄内写着“有”字，3 个阄内不写字，5 人依次抓取，问每人抓到“有”字阄的概率是否相同？

13.医学上用某方法检验呼吸道感染，临床表现为发热、干咳.已知人群中既发热又干咳的患者患呼吸道感染的概率是 5％；仅发热的患者患呼吸道感染的概率是3％；仅干咳的患者患呼吸道感染的概率是 1％；无上述现象而被确诊为呼吸道感染的患者的概率是 0.01％.现对某地区 25 000 人进行检查，其中既发热又干咳的患者有250 人，仅发热的患者有 500 人，仅干咳的患者有 1 000 人，试求：

（1）该地区中某人患呼吸道感染的概率；

（2）被确诊为呼吸道感染的患者为仅发热的患者的概率.

14.盒中 6 个乒乓球中有 4 个新的，2 个旧的，第一次比赛取出了 2 个，用完后放回去，第二次比赛又取出 2 个，求第二次取到的 2 个球都是新球的概率.

15.设有来自 3 个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份，现随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.

（1）求先抽到的一份是女生报名表的概率 p ；

（2）已知后抽到的一份报名表为男生报名表，求先抽到的一份是女生报名表的概率 q .

16.设随机事件 A 与 B 相互独立， A 与 C 相互独立，且 P （ A ）＝ P （ B ）＝ P （ C ）＝ ，求 P （ AC A ∪ B ）.

17.甲、乙、丙 3 人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别是 0.4，0.5，0.7.如果只有 1 人击中飞机，则飞机被击落的概率是 0.2；如果有 2 人击中飞机，则飞机被击落的概率是 0.6；如果 3 人都击中飞机，则飞机一定被击落．求飞机被击落的概率.

18.（可靠性问题）设有 6 个元件，每个元件在单位时间内能正常工作的概率均为0.9，且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下面的系统能正常工作的概率. xm7qqERyduGM6BrFgcJUXLEG3rEw2Za0Si4eO7eHOs0CNMiFIvnPRIGPUE8nctRI