一、知识点梳理

1.确定性现象

在一定条件下必然会发生的现象称为确定性现象.

2.随机现象

事前不能预测其结果的现象称为随机现象.

3.随机试验

具有以下 3 个特点的试验称为随机试验，简称试验.

（1）试验可以在相同条件下重复进行，即 可重复性 .

（2）试验的结果不唯一，但在试验前就知道所有可能出现的结果，即结果的 明确性 .

（3）在一次试验中，某种结果出现与否是不确定的，在试验之前不能准确地预测该次试验将会出现什么结果，即结果的 随机性.

4.样本点

将试验 E 的每一种可能结果称为 样本点 .

5.样本空间

所有样本点组成的集合称为试验 E 的 样本空间 ，记为 Ω .

6.随机事件

在随机试验 E 中，样本空间 Ω 的子集称为 E 的随机事件，简称事件，常用 A ， B ， C ，…表示.

7.事件的分类

1）基本事件

只包含一个样本点的子集称为基本事件.

2）复合事件

至少包含两个样本点的子集称为复合事件.

3）必然事件

必然事件是指包含所有样本点的子集，即整个样本空间.

4）不可能事件

不可能事件是指不包含任何样本点的子集，即Ø.

8.事件的关系

1）事件的包含关系

如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称 事件 B 包含事件 A ，事件 A 是事件 B 的子事件 ，记为 A ⊂ B .

2）和事件

事件 A 与事件 B 中至少有一个发生的事件，称为 事件 A 与事件 B 的和事件 ，记作 A ∪ B ，即

事件 A ， B 的和事件是由 A 与 B 的样本点合并而成的事件.

3）积事件

事件 A 与事件 B 同时发生的事件，称为 事件 A 与事件 B 的积事件 ，记作 A ∩ B 或 AB ，即

事件 A ， B 的积事件是由事件 A 与事件 B 的公共样本点所构成的事件.

4）差事件

事件 A 发生而事件 B 不发生的事件，称为 事件 A 关于事件 B 的差事件 ，记为 A － B ，表示事件 A 发生而事件 B 不发生，即 A － B ＝ A .事件 A 关于事件 B 的差事件是由属于事件 A 且不属于事件 B 的样本点所构成的事件.

5）对立事件

试验中“ A 不发生”这一事件称为 A 的对立事件或 A 的逆事件，记为 .一次试验中， A 发生则 必不发生，而 发生则 A 必不发生，因此 A 与 满足关系 A ∪ ＝ Ω ， A ＝Ø.

6）互不相容事件

如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB ＝Ø，则称 事件 A 与事件 B 互不相容 ，或称 事件 A 与事件 B 互斥 .

9.事件的运算律

1）交换律

2）结合律

3）分配律

4）对偶律（De Morgan定理）

对偶律还可以推广到多个事件的情况.一般地，对 n 个事件 A ₁ ， A ₂ ，…， A _n 有：

对偶律表明，“至少有一个事件发生”的对立事件是“所有事件都不发生”，“所有事件都发生”的对立事件是“至少有一个事件不发生”.

5）吸收律

若 A ⊂ B ，则 A ∪ B ＝ B ， AB ＝ A .

10.频率

设在相同的条件下，重复进行了 n 次试验，若随机事件 A 在这 n 次试验中发生了 m 次，则比值

称为事件 A 在 n 次试验中发生的频率.

11.古典概型计算公式

设试验 E 为古典概型试验， A _i （ i ＝ 1，2，…， n ）是全体基本事件，则

12.几何概型计算公式

设随机试验 E 是几何概型试验， Ω 是该试验的样本空间，则

其中度量可以指长度、面积和空间等.

13.概率的公理化定义

设随机试验 E 的样本空间为 Ω ，对于 E 的每一事件 A ，都对应一个实数 P （ A ），若集合函数 P 满足下列条件：

（1）非负性：对任一事件 A ，0≤ P （ A ）≤1；

（2）规范性： P （ Ω ）＝ 1；

（3）可列可加性：对任意可列个互不相容事件 A ₁ ， A ₂ ，…，有

则称 P （ A ）为事件 A 的概率.

14.概率的基本性质

设随机试验 E 的样本空间为 Ω ， A ， B ， A ₁ ， A ₂ ，…， A _n 都是 E 的事件，则

（1）不可能事件的概率为零，即 P （Ø）＝ 0．

（2）对事件 A 及其对立事件 ，有

（3）单调性，若事件 A ， B 满足 A ⊂ B ，则

（4）有限可加性：若事件 A 与事件 B 互不相容，则

一般地，若 n 个事件 A ₁ ， A ₂ ，…， A _n 互不相容，则

（5）概率的加法公式：对任意两个事件 A 与 B ，有

一般地，对任意 n 个事件 A ₁ ， A ₂ ，…， A _n ，有

（6）概率的减法公式：对任意两个事件 A 与 B ，有

15.条件概率

设 A ， B 是两个事件，且 P （ A ）＞0，则称

为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率.

类似地，当 P （ B ）＞0 时，可以定义在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率为

16.条件概率的性质

设随机试验 E 的样本空间为 Ω ， A ， B ， A ₁ ， A ₂ ，…都是 E 的事件，若 P （ B ）＞0，则：

（1）对任一事件 A 有 0≤ P （ A B ）≤1，即非负性；

（2） P （ Ω B ）＝ 1，即规范性；

（3）若事件 A ₁ ， A ₂ ，…互不相容，则 ，即可列可加性.

17.乘法公式

对于两个事件 A ， B ，如果 P （ A ）＞0，则有

若 P （ B ）＞0，则有

上式可推广到多个事件的积事件的情况：

18.样本空间的有限划分

设随机试验 E 的样本空间为 Ω ， B ₁ ， B ₂ ，…， B _n 是 E 的一组事件，若：

（1） B _i B _j ＝Ø， i ≠ j ；

（2） B ₁ ∪ B ₂ ∪…∪ B _n ＝ Ω．

则称 B ₁ ， B ₂ ，…， B _n 为 Ω 的一个有限划分.

19.全概率公式

设随机试验 E 的样本空间为 Ω ， A ⊂ Ω ， B ₁ ， B ₂ ，…， B _n 为 Ω 的一个有限划分，且 P （ B _i ）＞0， i ＝ 1，2，…， n ，则有

20.贝叶斯（Bayes）公式

设随机试验 E 的样本空间为 Ω ， A ⊂ Ω ， B ₁ ， B ₂ ，…， B _n 为 Ω 的一个有限划分，且 P （ A ）＞0， P （ B _i ）＞0， i ＝ 1，2，…， n ，则有

21.两个事件的相互独立

如果两个事件 A ， B 满足等式

则称事件 A 与 B 是相互独立的.

22.两个事件相互独立的性质

（1）若事件 A ， B 相互独立，且 P （ B ）＞0，则

（2）若事件 A ， B 相互独立，则下列 3 对事件： 与 B ， A 与 与 也相互独立.

23.3 个事件相互独立

如果 3 个事件 A ， B ， C 满足等式

则称事件 A ， B ， C 两两独立.

进一步地，若满足

则称事件 A ， B ， C 相互独立. a18D7tW11boj0gTDQDFQRm7WZIqByqKLzgEqQ+uMsln+xjiCTKlzEew14Q3BkrwO