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负荷是电力系统的一个重要组成部分。分析电力系统在各种状态下的行为必须建立负荷的数学模型。建立某一种具体的用电设备的数学模型相对来说并不十分困难，但是在电力系统分析中，没有必要也不可能对成千上万个具体负荷逐个地进行描述。因而本节中所说的负荷是指接在一个节点上的所有电气设备，即除了最末端的各种用电设备外，还可能包括带有载调压分接头的降压变压器，输配电线路，各种无功补偿、调压装置，甚至一些容量很小的发电机等。这些设备通过这个节点从系统中取用的有功功率和无功功率与该节点的电压及系统频率的关系式即称为该节点负荷的数学模型。显然，对于不同的节点，例如住宅区、商业区、工业区和农村，负荷的构成是大不相同的。另外，即使对同一个节点，在不同的时间，如一年中不同的季节、一周中不同的天、一天中不同的小时，负荷的构成也在变化。由于负荷的多样性、随机性和时变性，建立完全精确的数学模型是十分困难的工作。大量的研究表明，负荷的数学模型合适与否可明显地影响系统分析的结论。从系统运行分析与控制的角度讲，不恰当的负荷数学模型会使分析结果与实际不符，或偏保守而降低对系统的利用，或偏乐观而给系统带来潜在的危险。更困难的是，目前尚无法证明采用某种负荷模型对任何扰动都是保守的或者是乐观的。正因为建立负荷数学模型的重要性和复杂性，多年以来，国内外都对这一工作进行了大量的研究而使其成为一个专门的研究领域。建立负荷数学模型的方法有很多，总体上可以分为“统计综合法”与“总体辨测法”两大类。统计综合法是将节点负荷看成个别用户的集合，先将这些用户的用电器分类，并确定各种类型的用电器的平均特性，然后统计出各类用电器所占的比重，从而综合得出总的负荷模型。总体辨测法是先从现场采集测量数据，然后确定一个合适的负荷数学模型结构，再根据现场的测试数据辨识出模型中所含的参数值。两种方法各有优缺点。前者简单易行，但准确性差；后者可以采用现代系统辨识理论对现场测量数据进行分析，从而得出与实际更为接近的数学模型。但是由于实际系统很难使电压、频率大范围变化，因此获得准确的负荷动态特性仍有困难。总之，负荷建模问题目前仍是一个正在研究中的问题，还没有十分成熟的方法。
对负荷模型本身的分类方法有很多。从模型是否反映负荷的动态特性来看，可以分为静态模型和动态模型。显然，静态模型是代数方程式而动态模型是微分方程式。从模型是否线性可分为线性模型与非线性模型。从模型是否与系统频率相关分为电压相关模型和频率相关模型。传统上将既与电压相关也与频率相关的模型归入频率相关模型。从模型的导出方式区分，可分为机理式模型和输入输出式模型。机理式模型有比较明确的物理意义，易于理解，多适用于负荷种类比较单一的情况；非机理式模型主要关心输入输出之间的数学关系。由于篇幅所限，本节接下来将介绍目前常用的几种负荷模型。
最简单的负荷模型是将负荷用恒定阻抗模拟，即认为在暂态过程中负荷的等效阻抗保持不变，其数值由扰动前稳态情况下负荷所吸收的功率和负荷节点的电压来决定。这种模型十分粗略，但由于其简单，在计算精度要求不太高的情况下仍有广泛应用。
负荷的静态特性是指当电压或频率变化比较缓慢时，负荷吸收的功率与电压或频率的关系。通常有以下几种形式：
不计频率变化，负荷吸收的功率与节点电压的关系为
式中， P L0 、 Q L0 和 V L0 分别为扰动前稳态情况下负荷所吸收的有功功率、无功功率和节点电压。参数 a P 、 b P 、 c P 、 a Q 、 b Q 和 c Q 对于不同的节点取值是不同的，但显然应满足
由式（4-14）可见，这种模型实际上相当于认为负荷由三部分组成。系数 a 、 b 和 c 分别表示了恒定阻抗（ Z ）、恒定电流（ I ）和恒定功率（ P ）部分在节点总负荷中所占的比例。因此这种负荷模型也称为负荷的 ZIP 模型。
由于暂态过程中系统频率的变化不大，所以负荷的频率静特性可用直线表示。不计电压变化时节点功率与系统频率的关系为
式中， P L0 、 Q L0 和 f 0 分别为扰动前稳态情况下负荷所吸收的有功功率、无功功率和系统频率。参数 k P 和 k Q 对不同的节点取值不同，其物理意义显然是节点功率在稳态运行点对频率变化的导数，即
当同时计及电压与频率的变化时，负荷的数学模型为以上两种模型在标幺制表达式下的乘积，即
顺便指出，当用于系统计算时，必须注意对基准值进行折算，以使其与系统基准值一致。
将负荷的电压静特性在稳态运行点附近表示成指数形式，不计频率变化的影响时为
对于综合负荷，其中指数 α 的取值通常在0.5～1.8；指数 β 的取值随节点不同变化很大，典型值为1.5～6。
当同时计及频率变化的影响时，
必须指出，尽管负荷的静态模型由于其形式简单而在通常的电力系统稳定性计算中得到了广泛的应用，但是必须注意，当所涉及的节点电压幅值变化范围过大时，采用静态模型将使计算的误差过大。例如，由于放电性照明负荷在商业负荷中约占20%以上，当电压标幺值低至0.7时，灯将熄灭，从而取用的功率为零；当电压恢复时，经过一个短时间的延迟，灯又点亮。有些感应电动机还设有低电压保护，当电压低到某定值时电动机将从电网中切除。另外，电压过高时变压器饱和现象使得无功功率对节点电压的幅值变化十分敏感。以上各种因素使得当电压大范围变化时静态模型将不再直接适用。常用的处理方法是在不同的电压范围采用不同的模型参数，或者当电压低于0.3～0.7时程序将负荷简单处理成恒定阻抗。
当电压以较快的速度大范围变化时，采用纯静态负荷模型将带来较大的计算误差。尤其是对电压稳定性问题（亦称负荷稳定性问题）的研究，对负荷模型的精度要求很高。国内外对各种情况下，采用不同的负荷模型对计算结果的影响进行了大量的研究。研究表明，对负荷模型敏感的节点，必须采用动态模型。计算实践中经常把这种节点的负荷看成由两部分组成，一部分采用静态模型，另一部分采用动态模型。现代工业负荷的种类极其繁多，但占份额最大的是感应电动机。因此，负荷的动态特性主要由负荷中的感应电动机的暂态行为决定。下边介绍感应电动机的数学模型。按其数学模型的详细程度可分为计及机电暂态过程和只计及机械暂态过程两种模型。容量大的与容量小的感应电动机有明显不同的动态特性，容量小的只计及机械暂态过程即可。
这种模型忽略了负荷中感应电动机的电磁暂态过程而只计及感应电动机的机械暂态过程。对于一台感应电动机，由《电机学原理》可知，其动态过程可以由图4-6所示的感应电动机的等效电路来模拟。
图4-6中， X 1 和 X 2 分别为定子和转子的漏电抗； X μ 为定子与转子间的互阻抗； R 2 /s 为转子等效电阻。记系统频率和电动机转速分别为 ω 和 ω m ，则图中电动机的转差 s =( ω-ω m ) /ω =1 -ω m* ，服从电动机的转子运动方程
图4-6 感应电动机的等效电路
式中， T JM 为电动机转子与机械负载的等效转动惯量； T mM 和 T eM 分别为电动机的机械负载转矩与电磁转矩。上式的推导方法与同步发电机转子运动方程的推导方法相同，但需注意转矩的参考正向与同步发电机的相反。由上式可见，当负载转矩大于电磁转矩时感应电动机的转差增大，即转速下降。忽略电磁暂态过程时，感应电动机的电磁转矩可以表示为
式中， T eMmax 为感应电动机在额定电压下的最大电磁转矩； s cr 为感应电动机静态稳定临界转差。对于确定的感应电动机，不计系统频率变化时， T eMmax 和 s cr 为常数。 V L 和 V LN 分别为感应电动机的端电压和额定端电压。感应电动机的机械转矩与机械负载的性质有关，通常是电动机转速的函数，过去常用下式给出：
式中， α 为机械负载转矩中与感应电动机转速无关的部分所占的比例； p m 为与机械负载特性有关的指数； k 为电动机的负荷率。为了使计算程序具有良好的灵活性和兼容性，目前常用的机械转矩表达式为多项式与指数式的和：
式中， T mM0 和 ω m0 分别为扰动发生前的机械转矩与电动机转速； a m 、 b m 、 c m 、 d m 和 γ 为机械转矩的特征参数。注意参数 c m 由下式求出：
由图4-6可以得出感应电动机的等效阻抗为
注意 Z M 是电动机转差的函数。模型的输入变量为节点电压和系统频率，输出变量为等效阻抗。也就是说，当 V L 和 ω 随时间变化的规律已知，求解上述方程即可得到 s ，从而可以得到任意时刻的等效阻抗 Z M 。
前已述及，节点负荷是指接在节点上的所有电气设备，由于设备种类十分庞杂，因而其动态特性也十分复杂。接下来介绍用典型感应电动机模拟节点负荷的简化方法。注意问题的关键是获得任意时刻节点负荷的等效阻抗。
1）将稳态运行情况下节点负荷吸收的总功率
P
L（0）
和
Q
L（0）
按一定比例分为两部分。一部分用静态模型模拟，记其功率为
P
LS（0）
和
Q
LS（0）
，则对应的等效阻抗为
[
P
LS（0）
-j
Q
LS（0）
]。另一部分用只考虑机械暂态过程的感应电动机模拟，记等效机的功率为
P
LM（0）
和
Q
LM（0）
，则对应等效机的等效阻抗为
。节点负荷的稳态等效阻抗为
Z
L（0）
=
Z
LS（0）
//Z
LM（0）
。
2）近似认为接在节点上的所有必须计及动态特性的设备都是某种典型感应电动机。这台典型机的模型参数为 s （0） 、 T JM 、 T eMmax 、 s cr 、 R 1 、 X 1 、 R 2 、 X 2 、 R μ 、 X μ 及 k 、 α 、 p m 或 a m 、 b m 、 d m 、 γ 。由式（4-26）可求出典型机的稳态等效阻抗 Z M（0） 。显然，典型机的稳态等效阻抗未必等于等效机的稳态等效阻抗。
3）注意在暂态过程中，节点电压幅值和系统频率都是随时间变化的，由某种计算方法，求解系统方程及典型机的转子运动方程，可得 t 时刻典型机的转差 s （t） 、节点电压幅值 V L（t） 及系统频率 ω （t） ，由式（4-26）可求出典型机在 t 时刻的等效阻抗 Z M（t） ；由负荷的静态模型可求出 t 时刻静态负荷的等效阻抗 Z LS（t） 。
4）认为在任何时刻等效机的等效阻抗与典型机的等效阻抗之比为常数。则等效机在 t 时刻的等效阻抗为
式中的比例常数可由稳态条件求得：
至此可获得节点负荷在 t 时刻的等效阻抗
与前一种负荷模型相比，这种模型进一步考虑了感应电动机转子绕组中的电磁暂态过程。与同步电动机一样，由于定子绕组中的暂态过程十分迅速，感应电动机也不计定子绕组的电磁暂态过程。以下利用同步电动机数学模型，给出一种简单的推导方法。
实际上，就电动机的暂态过程方程而言，可以将感应电动机看成
d
、
q
轴完全对称的同步电动机。因此，在某些电力系统暂态分析程序中，就将感应电动机和同步电动机的模型统一处理。当感应电动机单独处理时，为简单起见，在同步电动机数学模型中，不计次暂态过程，认为
f
绕组与
g
绕组结构完全相同但
f
绕组短路。在这些条件下，令
X
d
=
X
q
=
X
，
，
，
pφ
d
=
pφ
q
=0，
，
ω
=1
-s
，
R
a
=
R
1
，便可得标幺制下的感应电动机方程为
上式中的电动机参数
X
、
X′
和
可以由图4-6中的参数导出。由于
d
、
q
轴完全对称及
f
绕组与
g
绕组结构完全相同，显然有
这样，对定子侧，按同步电抗的定义，可得
同理，对转子侧，有
将式（4-32）和式（4-33）代入原始参数方程可得
将式（4-33）代入原始参数方程可得
式（4-30）可以得到简化。将其从电动机自身的 d-q 坐标系变换到系统的统一坐标系 x-y 下。对时间的标幺值求导，有
由 δ 的几何意义可知，上式中 pδ = -s 。则式（4-30）在 x-y 坐标系下成为
在准稳态的条件下，分别将式（4-36）和式（4-37）中的第二式乘j加到第一式上得
式中，
，
，
。顺便指出，在同步发电机模型中，不计次暂态过程时，由于
d
、
q
轴不对称，故不能化成式（4-39）和式（4-40）的形式。
注意同步电动机看作感应电动机的条件，可得感应电动机的电磁转矩为
式中的负号是电动机的电磁转矩参考正向与同步电动机的相反所致。必须指出，由于感应电动机的模型沿用了发电机模型，因而电流的参考方向是流出电动机，即流入节点。
这样，式（4-21）、式（4-39）～式（4-41）和式（4-43）的负载机械转矩共同组成了考虑机电暂态过程的电动机数学模型。
负荷的动态数学模型还有其他形式，对于一些容量比较大的特殊负荷，还应单独建立它们的数学模型，例如大型的轧钢机、冶炼金属的电弧炉、电气机车、大型的温控设备、制氯厂、抽水蓄能电厂的同步电动机等。在长期稳定性分析中，变压器饱和效应、有载调压变压器的调整、无功补偿电压调节器的动作、低频低压减载装置的动作等都应在模型中反映。总之，负荷的建模工作还是一个正在发展中的工作。