3.2 网络方程的解法

3.2.1 用高斯消去法求解网络方程

在电力系统分析中，网络方程常采用高斯消去法求解。对于导纳型的节点方程，高斯消去法还具有十分明确的物理意义。高斯消去法实际上就是带有节点电流移置的星网变换。

现在我们用按列消元的算法求解方程组（3-3），完成第一次消元后可得

式中， ；

我们将要说明，通过消元运算对原方程组中第2～ n 个方程式的系数和右端项所作的修正，正好反映了带电流移置的星网变换的结果。根据导纳矩阵元素的定义

可见，节点 i 的电流增量正好等于从节点1的电流中移置过来的部分。

系数矩阵非对角线元素的修正增量

正好等于星网变换后在节点 i 、 j 间新增支路导纳的负值。

对角线元素的修正增量

正好就是星网变换后，新接入节点 i 的支路导纳（取正值）和被拆去的支路导纳（取负值）的代数和。

因此，式（3-12）中的第2～ n 式恰好是消去节点1后网络的节点方程。对式（3-12）再作一次消元，其系数矩阵便演变为

一般地，作了 k 次消元后所得系数矩阵为 Y ^{( k )} ，且

式中，右下角的 n-k 阶子块是作完消去节点1，2，…， k 的星网变换后所得网络的节点导纳矩阵。

对于 n 阶的网络方程，作完 n -1次消元后方程组的系数矩阵将变为上三角矩阵，即

矩阵 Y ^{( n -1)} 的元素表达式为

式（3-14）右端的各项具有十分明确的物理意义。当 i ≠ j 时， Y _ij 表示网络在原始状态下节点 i 和节点 j 之间的互导纳，它等于联接节点 i 、 j 的支路导纳的负值；而在∑符号下的第 k 次消元（即消去 k 号节点的星网变换），在节点 i 、 j 间出现新支路的导纳。当 j = i 时， Y _ii 是网络在原始状态下节点 i 的自导纳，它等于与节点 i 联接的各支路导纳值之和；而在∑符号下的第 k 项，则表示通过第 k 次消元从节点 i 拆去支路的导纳与节点 i 新接入支路的导纳之差。

对任意复杂网络，可以反复地应用星网变换，逐渐消去节点，将网络化简到最简单的形式，并求出其解答。然后，将网络逐步还原，就可确定原始网络的运行状态。这样的解题过程，就是用高斯消去法求解网络方程的过程。搞清楚消去法和星网变换的关系，还有助于利用星网变换来分析消元过程中方程组的系数矩阵的演变情况。

例3-3 用星网变换求解图3-7a所示的网络。

解 ：1）将节点1的电流 分散移置到节点2、3和4，使这些节点的电流变为

式中， 。

将支路 y ₁₂ 、 y ₁₃ 和 y ₁₄ 组成的星形电路变成接于节点2、3和4的三角形电路，然后将三角形电路中节点2、4间的一条支路同原有的支路 y ₂₄ 合并，便得到图3-7c所示的网络，其中

经过这一步变换，节点1被消去，网络的独立节点数减为3个。

2）将节点2的电流 分散移置到节点3和4，使这两个节点的电流分别变为

然后将 和 串联之后再同 并联便得

经过这一步变换，消去节点2，使网络的独立节点数减为2个（见图3-7e）。

3）把节点3的电流 全部移到节点4，使节点4的电流变为

然后将支路 舍去，便得到只含一条支路和一个独立节点的最简单网络，如图3-7f所示。

必须指出，第2步和第3步也是星网变换。第2步是对以节点2为中心的两支路星形电路，第3步是对以节点3为中心的一支路星形电路作电流移置和星网变换。因为1条支路的星形电路可以当作是 k 支路星形电路中除1条支路外，其余支路的导纳都等于零的特例。

利用最后得到的网络（见图3-7f），根据已知的电流 即可算出节点4的电压 。接着把网络还原为图3-7e所示的形式，由已知的 和 即可弄出电压 。下一步把网络还原为图3-7c所示的网络，由已知的 、 和 可以算出 。最后由原始网络和已知的、 、 和 便可算出节点1的电压 。

3.2.2 用高斯消去法简化网络

高斯消去法不仅可用于求解网络方程，它也是简化网络的有效方法。利用高斯消去法简化网络，既可以逐个地消去节点，也可以一次消去若干个节点。设有 n 个节点的网络，拟消去其中的1，2，…， m 号节点，保留 m +1， m +2，…， n 号节点。原网络的方程为

或按虚线所作的分块缩写成

或者展开写成

从式（3-15）的第一式解出

将其代入第二式，经过整理后便得

令

便得

这就是消去 m 个节点后的网络方程，其中 U _B 为保留节点电压列向量。由于消去了部分节点，网络保留部分的接线发生了变化，同时被消去节点的电流也必须移置到保留节点上来，因此，对导纳矩阵的保留部分以及保留节点的电流都必须作相应的修改。

如果要消去的不是前 m 个节点，而是后 n-m 个节点，读者可以仿照上述方法自己导出有关的计算公式。

在电力系统中往往有许多既不接发电机也不接负荷的节点，这些节点称为联络节点或浮游节点。这些节点的注入电流为零。如果负荷用恒定阻抗表示，则负荷节点也属于这一类节点。消去这类节点时，不存在移置节点电流的问题，只需对节点导纳矩阵作缩减和修改即可。

例3-4 对图3-8a所示的网络，试求消去节点1、2、3后的节点导纳矩阵。各支路导纳的标幺值已注明图中。

解 ：根据所给条件可以作出如下原网络的节点导纳矩阵。

（1）采用逐个地消去节点的算法

1）消去节点1，删去 Y 中与节点1对应的行和列，并按下式修改保留部分元素，得第五行（列）和第六行（列）的元素都保持原值不变。

消去节点1后网络的节点导纳矩阵为

与这个导纳矩阵对应的网络如图3-8b所示。

2）消去节点2，删去 Y _（1) 中与节点2对应的行和列，并按下列修改保留部分元素，得

其余的元素不必修改。缩减并修改后的导纳矩阵为

与这个导纳矩阵对应的网络如图3-8c所示。

3）消去节点3，删去 Y _（2) 中与节点3对应的行和列，并用下式

修改保留部分的各元素，最终得到消去节点1、2、3后网络的节点导纳矩阵为

对应的网络如图3-8d所示。

（2）一次消去三个节点

对原网络的节点导纳矩阵按虚线分块后可写成

式中， ;

;

。

先算出 Y _AA 逆矩阵

然后根据式（3-16）即可求得 wVZ/lA7xMTnWO8YMBstdRmunnsQhx7pb+mzyRLn9dWYyOLffB9/qitnhK0gccpya